Правила приближённых вычислений

Числовые значения физических величин, с которыми при­ходится иметь дело при решении задач, в большинстве слу­чаев являются приближенными причём степень приближе­ния зависит как от точности приборов, которыми измерялась данная физическая величина, так и от тех требований, ко­торые выдвигаются условиями задачи.

Так, например, ускорение силы тяжести обычно прини­мается равным Однако более точные измерения эт ой величины могут дать значение . При решении же некоторых задач в целях упрощения расчетов можно принять значение этой величины равным .

Необходимо помнить, что точность конечного результата вычислений зависит только от точности измерений и ее не­возможно повысить за счет точности вычислений, высчиты­вая много десятичных знаков после запятой. Рассмотрим это па примере следующей задачи.

За сколько времени падающее тело достигнет скорости ?

В соответствии с законами свободного падения , a Производя деление, можно получить, например, число . секунд. Можно производить деление и дальше, но смысла это иметь не будет. Вполне до­статочно остановиться на числе имеющем столько же значащих цифр, сколько их имеет исходное данное — Излишнее количество знаков при вычислениях не только не приносит пользы, но является грубой ошибкой, так как го­ворит о том, что вычислитель не имеет представления о точ­ности своих измерений и вычислений и бесполезно затрачи­вает свой труд и время.

Чтобы избежать вычисления ненужных знаков, необходи­мо соблюдать правила действия над приближенными чис­лами:

1.Следует правильно записывать приближенные числа. Так, например, числа отнюдь не одно и тоже число. В первой записи указано, что верны лишь цифры целых и десятых долей. Во втором числе верны сотые доли, а в третьем — также и тысячные, и, следовательно, измере­ния, в которых получено это число, оказались наиболее точ­ными из всех трех измерений.

2. При сложении и вычитании приближенных чисел в ре­зультате надо отбрасывать по правилам округления цифры тех разрядов справа, которых нет хотя бы в одном из сла­гаемых. Так, например:

Десятые доли отброшены, так как десятичные знаки пер­вого слагаемого неизвестны.

3.При умножении и делении приближенных чисел в ре­зультате необходимо оставлять столько значащих цифр, сколько их имеется в числе с наименьшим количеством значащих цифр. Прочие цифры заменяются нулями или отбра­сываются по правилам округления. Например:

4. При возведении в степень или извлечении корня в ре­зультате надо оставлять столько значащих цифр, сколько их в исходном числе, с которым производится действие. Например:

5. При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производи­мых действий. Например,

Числа и имеют наименьшее количество значащих цифр, а именно две. Поэтому результаты всех промежуточ­ных вычислений должны округляться до трех знаков, остав­ляя, кроме двух достоверных, один сомнительный знак. Тог­да предыдущее выражение можно будет записать так:

Произведя эти вычисления, округляем ответ до двух зна­чащих цифр, т. е. до .

6. Табличные величины (число , заряд электрона и т. п.) следует брать с таким количеством значащих цифр, которое равно количеству значащих цифр в наименее точном из данных по условиям задачи.

7. В ряде случаев результаты измерений или табличные
данные выражаются числами, близкими к единице, но заве­домо не равными единице. При точных вычислениях такие числа округлять нельзя. Так, например, магнитная прони­цаемость платины равна, показатель преломления воздуха равен , и т. п. Вычисления с ними довольно громоздки. Поэтому при работе с такими числами следует пользоваться специальными правилами.

Пусть число может быть выражено в виде, где малое число. Тогда

Рассмотрим применение этих правил на примерах:

Этими правилами следует широко пользоваться в приб­лиженных вычислениях и при решении задач. Пpи вычислениях в ряде случаев удобно пользоваться таблицами 3 и 4, помещенными в конце указаний.