Середня квадратичhа, гранична й відносна помилки

Для правильного використання результатів вимірів необхідно знати, з якою точністю, тобто з яким ступенем близькості до істинного значення вимірюваної величини, вони отримані. Характеристикою точності окремого виміру в теорії помилок служить запропонована Гауссом середня квадратическая помилка m, що обчислюється за формулою

___________ ___

m = √ ∆1+∆2+...+∆n = √ ∆2 (5.2)

n n

де n - число вимірів даної величини.

Ця формула застосовується для випадків, коли відомо істинне значення вимірюваної величини. Такі випадки в практиці зустрічаються рідко. У той же час із вимірів можна одержати результат, найбільш близький до істинного значення,- арифметичну середину. Для цього випадку середня квадратическая помилка одного виміру підраховується за формулою Бесселя

(5.3)

де δ - відхилення окремих значень вимірюваної величини від арифметичної середини, які називають найімовірнійшими помилками, причому [δ] = 0.

Точність арифметичної середини, природно, буде вище точності окремого виміру. Її середня квадратическая помилка М визначається за формулою

M=m/√n (5.4)

де m - середня квадратична помилка одного виміру, що обчислює за формулою (5.2) або (5.3).

Часто в практиці для контролю й підвищення точності обумовлену величину вимірюють двічі - у прямому й зворотному напрямках, наприклад, довжину ліній, перевищення між точками. Із двох отриманих значень за остаточне приймається середнє з них. У цьому випадку середня квадратична помилка одного виміру підраховується за формулою

m = (5.5)

а середній результат із двох вимірів - за формулою

(5,6)

де d — різниця дворазово вимірюваних величин, n — число разниць (подвійних вимірів).

Відповідно до першої властивості випадкових помилок для абсолютної величини випадкової помилки за даних умов вимірів існує припустима межа, яка називається граничною помилкою. У будівельних нормах гранична помилка називається припустимим відхиленням.

Теорією помилок вимірів доводить, що абсолютна більшість випадкових помилок (68,3%) даного ряду вимірів перебуває в інтервалі від 0 до +m; в інтервал від 0 до ±2m попадає 95,4%, а від 0 до ±3m - 99,7% помилок. Таким чином, з 100 помилок даного ряду вимірів лише п'ять можуть виявитися більше або рівні 2m, а з 1000 помилок тільки три будуть більше або рівні Зm. На підставі цього як гранична помилка ∆гран для даного ряду вимірів приймається потроєна середня квадратична помилка, тобто ∆_гран =3m. На практиці в багатьох роботах для підвищення вимог точності вимірів приймають ∆_гран =2m. Погрішність вимірів, величини яких перевершують ∆_гран, вважають грубими.

Іноді про точність вимірів судять не по абсолютній величині середньої квадратичної або граничної помилки, а по величині відносної помилки.

Відносною помилкою називається відношення абсолютної погрішності до значення самої вимірюваної величини. Відносна помилка виражається у вигляді простого дробу, чисельник якої - одиниця, а знаменник - число, округлене до двох-трьох значущих цифр із нулями. Наприклад, відносна середня квадратична помилка виміру лінії довжиною l =110 м при m ₁ =2 см дорівнює m ₁ / l = 1/5500, а відносна гранична помилка при ∆гран = Зm ∆гран / l = 1/1800.