Действие магнитного поля на токи и заряды

Вопрос 6. Сила, действующая на ток в магнитном поле.

Закон Ампера

Согласно закону, установленному Ампером, на элемент тока d l действует в магнитном поле сила

d f = ki d l ´ B (46.1)

(k – коэффициент пропорциональности, i – сила тока, В – магнитная индукция в том месте, где помещается элемент d l).

Величина силы (46.1) вычисляется по формуле

d f = kiB d l sin a (46.2)

где a – угол между векторами d l и В (рис. 84,a). Направлена сила перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы d l и В.

Правило левой руки. Направление силы, действующей на ток, удобно определять с помощью так называемого правила левой руки. Если расположить левую руку так, чтобы вектор В «вонзался» в ладонь, а четыре сложенные вместе пальца были направлены вдоль тока, то отставленный в сторону большой палец укажет направление силы (рис. 84,6). По существу, правило левой руки можно использовать для любой величины, определяемой векторным произведением двух других векторов в правой системе координат.

Закон Ампера для дифференциалов легко проверяется вычислением силы взаимодействия двух параллельных бесконечно длинных прямых токов в вакууме. Если расстояние между токами b (рис. 85), то каждый элемент тока i ₂ будет находиться в магнитном поле, индукция которого . Угол a между элементами тока i ₂ и вектором В ₁ прямой.

 

 

Следовательно, согласно (46.2) на единицу длины тока i ₁ действует сила

(46.3)

Для силы f ₁₂, действующей на единицу длины тока i ₂ получается аналогичное выражение. С помощью правила левой руки легко установить, что при одинаковом направлении токов они притягивают друг друга, а при различном – отталкивают.

Выражение (46.3) совпадает с формулой (38.2 ), если положить k = 1. Следовательно, в СИ закон Ампера имеет вид

d f = i d l ´ B (46.4)

Соответственно

d f = iВ d l sin a. (46.5)

 

Вопрос 7. Сила Лоренца

Проводник, по которому течет ток, отличается от проводника без тока лишь тем, что в нем происходит упорядоченное движение носителей заряда. Отсюда напрашивается вывод, что сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, обусловлена действием сил на отдельные движущиеся заряды, а уже от этих зарядов действие передается проводнику, по которому они перемещаются. Этот вывод подтверждается целым рядом опытных фактов и, в частности, тем, что пучок свободно летящих заряженных частиц, например электронный пучок, отклоняется магнитным полем.

Согласно (46.4) на элемент тока d l действует в магнитном поле сила

d f = i d l ´ B (47.1)

Заменив i d l через S j d l, выражению закона Ампера можно придать вид

d f = S d l j ´ B = j ´ B d V

где d V – объем проводника, к которому приложена сила d f. Разделив d f на d V, получим «плотность силы», т. е. силу, действующую на единицу объема проводника:

f _ед.об = j ´ B (47.2)

Подставив в эту формулу j = en u, найдем, что

f _ед.об = n е ' u ´ В.

Эта сила равна сумме сил, приложенных к носителям, заключенным в единице объема. Таких носителей n, следовательно, на один носитель действует сила, равная f _ед.об/ n = е ' u ´ В.

Таким образом, можно утверждать, что на заряд е', движущийся со скоростью u в магнитном поле В, действует сила

f = е ' u ´ В (47.3)

Силу (47.3) называют силой Лоренца.

Часто лоренцевой силой называют сумму электрической и магнитной сил, действующих на заряд:

f = е ' E + е ' u ´ В

Модуль лоренцевой силы равен

f = e ' uB sin a (47.5)

где a – угол между векторами u и B. Следовательно, заряд, движущийся вдоль линий магнитного поля, не испытывает действия силы.

Направлена сила Лоренца перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы u и B. Если заряд е ' положителен, направление силы совпадает с направлением вектора u ´ В.

 

В случае отрицательного е направления векторов f и u ´ В противоположны (рис. 86).

Поскольку сила Лоренца всегда направлена перпендикулярно к скорости заряженной частицы, она работы над частицей не совершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоянным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя.

При получении выражения. (47.3) для силы Лоренца из формулы (47.1) мы считали, что носители заряда в проводнике движутся со скоростью упорядоченного движения и. Однако даже в отсутствие тока носители заряда находятся в хаотическом тепловом движении. Среднее (по носителям) значение вектора скорости этого

движения u ₀ равно нулю: .

Поэтому и результирующая сил (47.3), действующих на носители, заключенные в элементе проводника d l, при отсутствии тока также равна нулю:

(47.6)

При возникновении тока скорость носителя становится равной u = u ₀ + u. В этом случае

Первая сумма в этом выражении в соответствии с (47.6) равна нулю. Вторая сумма совпадает с (47.2 f _ед.об = j ´ B). Таким образом, действующая на ток сила Ампера складывается из сил Лоренца, обусловленных упорядоченным движением носителей заряда.

Сила, действующая на ток в магнитном поле, имеет значение (47.1 d f = i d l ´ B), независимо от того, покоится проводник с током или перемещается относительно магнитного поля. Для простоты рассмотрения предположим, что в металле в силу его исходной электронейтральности на заряд иона ze приходится z электронов.

Пусть провод, по которому течет ток, движется со скоростью υ, а электрон имеет относительно провода скорость u. Тогда электрон движется относительно поля со скоростью υ + u. На него будет действовать сила

f _ = – е (υ + u) ´ В ] = – е υ ´ В – е u ´ В,

а на участок провода – сила

d f _ = – е z υ ´ В d N – е z u ´ В d N,

где z d N – число электронов в элементе тока d l, а u – средняя скорость их движения относительно проводника. Величина d N – равна числу ионов в том же элементе тока.

Заряд каждого иона равен ez. Положительные ионы движутся вместе с проводом со скоростью υ, так что на каждый из них действует сила

f ₊ = е z υ ´ В

Следовательно, на ионы, содержащиеся в элементе d l, действует сила

d f ₊ = е z υ ´ В d N.

Элемент провода длины d l испытывает действие силы, равной сумме сил d f _+ d f ₊, которая, как легко видеть, имеет значение

d f = d f _+ d f ₊ = – е z u ´ В d N

Полученное нами выражение эквивалентно формуле d f = i d l ´ B. Так как в него не входит скорость проводника υ, закон Ампера имеет одинаковый вид и для покоящегося и для движущегося проводника.

Вопрос 8. Контур с током в магнитном поле

Рассмотрим поведение тока, протекающего через некоторый контур, с магнитным полем. Для простоты контур выберем плоским и прямоугольным, а магнитное поле однородным. Если вектор В параллелен плоскости контура (рис. 87), то стороны, имеющие длину b, не будут испытывать действия сил, так как для них в формуле (46.5 d f = iВ d l sin a) sin a = 0.

 

 

На левый участок будет действовать сила Ампера f = iBa, направленная за чертеж, на правый – такая же сила f ' противоположного направления. Эти силы образуют пару, момент которой равен

 

 

 

Произведение ab равно площади контура S, а iS есть величина магнитного момента p _m. Тогда

(48.1)

Таким образом, момент М стремится повернуть контур так, чтобы его магнитный момент р _m выстроился по направлению поля В. Такая ориентация контура показана на рис. 88.

В этом случае f ₁ = f ₃ = iBa, f ₂ = f ₄ = iBb. Направления всех сил лежат в плоскости контура. Видно, что вращательный момент в этом случае не возникает. Поскольку поле однородно, равнодействующая сил равна нулю; силы растягивают контур, но не смещают. Если повернуть контур на 180° (или изменить направление поля на обратное), то направления всех сил изменятся на противоположные, и они будут не растягивать, а сжимать контур.

 

Полученная формула (M = p _m В) справедлива и для плоского контура произвольной формы. Разобьем площадь контура на узкие параллельные направлению вектора В полоски шириной d h (рис. 89, а). На элемент контура d l ₁ действует сила d f ₁ = iB d l ₁ sin a ₁, направленная за чертеж. На элемент d l ₂ действует сила d f ₂ = iB d l ₂ sin a ₂, имеющая противоположное направление. Как видно из рис. 89 б, d l ₁ sin a ₁ = d l ₂ sin a ₂ = dh, то есть ширине полоски. Следовательно, силы d f ₁ и d f ₂ одинаковы по величине и образуют пару, момент которой равен

,

где b – длина полоски. Произведение b ×d h равно площади полоски d S. Таким образом,

.

Беря попарно силы, приложенные к противолежащим элементам контура, и суммируя их моменты, получим результирующий момент, действующий на контур:

,

аналогичный формуле (48.1).

При произвольной ориентации контура (рис. 90) магнитную индукцию В можно разложить на составляющие: B _^ – перпендикулярную и В _|| – параллельную плоскости контура. Составляющая B _^ будет обусловливать силы, растягивающие или сжимающие контур.

Составляющая В _|| равна В sin a (a – угол между p _m и В). Ее действие приведет к появлению вращательного момента, который можно вычислить по формуле (48.1 M = p _m В):

 

(48.2)

Так как векторы М, p _m и В перпендикулярны, формулу (48.2) можно записать в виде

(48.3)

Чтобы угол a между векторами p _m и В увеличить на d a, нужно совершить работу против сил, действующих на контур в поле

(48.5)

Поворачиваясь в первоначальное положение, контур может совершить работу над сторонними телами. Следовательно, работа (48.5) идет на увеличение энергии W, которой обладает контур с током в магнитном поле,

Интегрируя, получим:

.

Если положить const = 0, формула приобретает вид

(48.6)

Отметим сходство выражений, определяющих потенциальную энергию электрического и магнитного диполя в соответствующих полях.

Теперь рассмотрим плоский контур с круговым током в неоднородном магнитном поле. Пусть поле изменяется в направлении х, совпадающем с направлением В в месте расположения центра контура. Магнитный момент контура параллелен полю (рис 91,а).

Сила d f, действующая на элемент контура, перпендикулярна к В, т.е.к линии магнитной индукции в месте пересечения ее с d l. Поэтому силы, приложенные к различным элементам контура, образуют симметричный конический «веер» (рис. 91,6).

 

 

Их результирующая f направлена в сторону возрастания В и, следовательно, втягивает контур в область более сильного поля. Очевидно, что чем сильнее изменяется поле (чем больше градиент поля), тем меньше угол раствора «веера» и тем больше, при прочих равных условиях, результирующая сила f. При изменении направления тока в контуре p _m противоположно В, а направления всех сил d f и их результирующей f изменяются на обратные (рис. 91,в). Тогда контур будет выталкиваться из поля.

Пользуясь известной связью потенциальной энергии и силы, можно найти количественное выражение для f:

Положим неизменной ориентацию момента относительно направления магнитного поля (a = const). Тогда, поскольку момент не зависит от координат, а В = В (х), проекция силы на ось х равна

(48.8)

Согласно полученной нами формуле сила, действующая на контур с током в неоднородном магнитном поле, зависит от ориентации магнитного момента контура относительно направления поля. Если векторы p _m и В совпадают по направлению (a = 0), сила положительна, т.е. направлена в сторону возрастания В ( предполагается положительным). Если p _m и В антипараллельны (a = p), сила отрицательна, т. е. направлена в сторону убывания В.

Таким образом, анализ подтверждает результат, полученный выше качественным путем. По поводу неизменности ориентации момента в магнитном поле следует сказать, что она может изменяться из – за действия вращательного момента М = p _m´ В при несовпадении направлений p _m и В.

Вопрос 9. Работа, совершаемая при перемещении тока в магнитном поле

При определении этой работы необходимо отметить, что ток может быть создан как на некотором подвижном участке электрической цепи, так и перемещаться вместе с замкнутым контуром. Кроме того, движение контура следует рассмотреть не только поступательное, но и вращательное.

Допустим, что провод с током свободно перемещается во внешнем магнитном поле. Например, провод может скользить по жестко закрепленным участкам замкнутой цепи (рис. 92). Предположим также, что внешнее поле однородно и перпендикулярно к плоскости контура. При указанных на рисунке направлениях тока и поля сила, действующая на подвижный провод, направлена вправо и равна f = iBl, где l – длина этого провода с током. На пути d s эта сила совершит над проводником работу

d A = f d S = iBl d s

Произведение l d s равно заштрихованной площади d S (рис. 92), a Bl d s = B d S – потоку магнитной индукции d Ф через эту площадку. Отсюда

d A = i d Ф (49.1)

где d Ф – поток магнитной индукции, пересекаемый проводником при его движении.

Полученный результат легко обобщить на случай неоднородного поля. Для этого нужно разбить проводник на участки d l и сложить элементарные работы, совершаемые над каждым

участком (в пределах каждой малой площадки d l d s магнитную индукцию можно считать постоянной).

f перпендикулярна к В. Тогда, если вектор В образует с нормалью к контуру угол a, направление силы составит с направлением перемещения также угол a и

d A = f cos a d s = iB _n l d s,

где B _n = В cos a – составляющая вектора В по направлению нормали к площадке l d s. Но произведение B _n l d s есть d Ф – поток, пересекаемый проводником. То есть и в этом случае справедливо выражение (49.1).

Поскольку силы Лоренца или Ампера перпендикулярны направлению движения зарядов (токов), работы они совершать не могут. Работа (49.1) совершается не за счет магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего ток в контуре.

В качестве такого источника можно рассмотреть э. д. с. индукции , возникающую при изменениях потока магнитной индукции, пронизывающего контур (см. далее). В этом случае источник тока, кроме работы, затрачиваемой на выделение ленц – джоулева тепла, должен совершать дополнительную работу против э. д. с. индукции, определяемую выражением

которое совпадает с (49.1).

Найдем работу, совершаемую над замкнутым контуром с током при его перемещении в магнитном поле. Пусть контур, перемещаясь, остается все время в одной плоскости (рис. 93; вектор В направлен за чертеж). Силы, приложенные к участку контура 1–2, образуют с направлением перемещения острые углы. Следовательно, совершаемая ими работа А ₁ положительна. Эта работа пропорциональна силе тока в контуре i и пересеченному участком

1–2 потоку магнитной индукции (d A = i d Ф). Участок 1–2 пересекает при своем движении сумму потоков Ф ₀ через заштрихованную поверхность и Ф_к, пронизывающего контур в его конечном положении. Тогда

A ₁ = i (Ф ₀ + Ф _к)

Силы, действующие на участок контура 2–1, образуют с направлением перемещения тупые углы. Поэтому совершаемая ими работа А₂ отрицательна.

Абсолютная величина ее пропорциональна потоку, пересекаемому участком 2–1, который складывается из Ф ₀ и Ф_н – потока, пронизывающего контур в начальном положении. Следовательно,

A ₂ = i (Ф ₀ + Ф _н).

Работа, совершаемая над всем контуром, равна

А = А ₁ + А ₂ = i (Ф ₀ + Ф _к) – i (Ф ₀ + Ф _н) = i (Ф _к – Ф _н)

Разность магнитного потока через контур в конце перемещения Ф _к и потока в начале Ф _н дает приращение потока через контур D Ф независимое от траектории движения контура. Таким образом,

А = i D Ф (49.2)

Величина работы не изменится, если рассмотреть перемещение контура с вращением его в плоскости движения. Однако можно показать, что эта формула остается справедливой при любом движении контура в произвольном магнитном поле. В частности, при повороте контура в однородном поле из положения, в котором векторы р _m и В направлены в противоположные стороны, в положение, при котором эти векторы совпадают по направлению, силы поля совершают над контуром работу:

А = W _н – W _к = p _m В – (– p _m В) = 2 p _m В.