Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


 раткие сведени€ из теории




–абота 1. јѕѕ–ќ —»ћј÷»я “јЅЋ»„Ќќ «јƒјЌЌџ’ ‘”Ќ ÷»…

— ѕќћќў№ё ћ≈“ќƒј Ќј»ћ≈Ќ№Ў»’  ¬јƒ–ј“ќ¬ (ћЌ )

÷ель работы:

¨ ѕрактическиосвоить метод наименьших квадратов и технологию работы с надстройкой Ђѕоиск решени€ї.

¨ »зучить технологию построени€ линий тренда.

—одержание и пор€док выполнени€ работы

1. »зучить постановку задачи аппроксимации таблично заданных функций и ее решение с помощью метода наименьших квадратов.

2. »з заданий к данной работе записать таблицу исходных данных своего варианта.

3. ѕодготовить размещение информации на рабочем листе электронных таблиц (Ё“) дл€ определени€ коэффициентов аппроксимирующей функции с помощью метода наименьших квадратов.

4. ¬ среде Ё“ Microsoft Excel реализовать ћЌ  с помощью надстройки Ђѕоиск решени€ї.

5. «аписать аппроксимирующую функцию с полученными параметрами и в среде Excel вычислить среднеквадратическую погрешность аппроксимации.

6. — помощью мастера диаграмм построить точечную диаграмму функции и линию тренда.

7. ¬ыполнить анализ результатов расчета на основе сравнени€ выражений аппроксимирующих функций, полученных в пунктах 5 и 6.

8. ќформить и защитить отчет.

 

 раткие сведени€ из теории

 

 ак известно, функциональна€ зависимость от может быть задана не только в аналитическом виде, т.е. в виде математической формулы, но и в графическом виде или в виде таблицы. ¬ последнем случае, наиболее распространенном на практике, дискретному множеству значений аргумента поставлено в соответствие множество значений (). ќднако использование такой зависимости как исходных данных дл€ прин€ти€ решений затруднительно. ѕолучить значени€ функции при других значени€х, не вошедших в множество , можно только путем дополнительных и сложных расчетов, если нам все же известна зависимость , но она слишком громоздка. Ќе менее сложна ситуаци€, когда речь идет о результатах экспериментальных исследований, собранных в таблице. ¬ этом случае получить дополнительно промежуточные данные можно только путем проведени€ новых экспериментов, что может быть непросто и дорого. ≈стественно возникает необходимость приблизить (аппроксимировать) реальную таблично заданную зависимость от аппроксимирующей функцией. “ака€ задача называетс€ приближением функции и состоит в замене по определенному правилу функции близкой к ней в том или ином смысле функцией из заранее фиксированного множества.

¬ общей задаче приближени€ функции можно выделить частные задачи, основными среди которых €вл€ютс€ задача выбора приближающего множества и выбор метода приближени€. ѕри выборе приближающего множества руководствуютс€ стремлением к простым по структуре и удобным дл€ вычислений аппроксимирующим функци€м .  лассическим €вл€етс€ выбор алгебраических и тригонометрических многочленов, что обусловлено принципиальной возможностью приблизить ими непрерывную функцию с любой заданной точностью. ѕричем на практике используют многочлены по возможности меньшей степени. ѕри выборе метода приближени€ стрем€тс€ обеспечить высокую точность аппроксимации. Ёто возможно, если функцию на рассматриваемом отрезке приближать в целом с определенной мерой погрешности. „аще всего используют среднеквадратическое приближение с мерой погрешности

.

—тепень аппроксимирующего многочлена

(1)

выбираетс€ из услови€ достижени€ погрешностью приближени€ допустимого значени€:

.

≈сли , степень многочлена увеличиваетс€.

ѕусть в результате эксперимента, состо€щего из опытов, получена таблица 1 значений параметра при изменении другого параметра в заданных пределах.

“аблица 1. –езультаты эксперимента.

 

«адача сводитс€ к определению коэффициентов наилучшим образом, т.е. установлени€ таких значений этих параметров, при которых построенна€ по формуле (1) крива€ имела бы минимальные отклонени€ от всех экспериментальных точек.

—уществует много методов определени€ параметров аппроксимирующей функции, но чаще всего используют метод наименьших квадратов. –ассмотрим суть этого метода на примере многочлена второй степени

. (2)

ќбозначим через разность между значени€ми аппроксимирующей функции и таблично заданной функции дл€ каждого таблично заданного значени€ аргумента (рис. 1):

(3)

Ёта разность называетс€ отклонением значени€ аппроксимирующей функции от табличного значени€ в точке . —ледовательно, крива€ должна проходить так, чтобы ее отклонени€ от табличных данных, т.е. от

 
 

точек , были минимальными.

–ис. 1. ќтклонени€ аппроксимирующей функции

¬ методе наименьших квадратов неизвестные коэффициенты выбирают так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной, т.е. чтобы функци€

(4)

принимала минимальное значение.

”словие минимума суммы самих отклонений, а не их квадратов, не решает проблемы, так как сумма отклонений может быть очень малой и тогда, когда отдельные отклонени€ очень велики, но имеют разные знаки и взаимно компенсируют друг друга.

“ак как и известны, то сумма (4) есть функци€ параметров . ќбозначим ее через . Ёта сумма всегда положительна и имеет минимум. ƒл€ рассматриваемого случа€ сумма имеет вид:

(5)

“аким образом, необходимо найти такие значени€ и , при которых функци€ достигает минимума. Ёто обычна€ задача определени€ экстремума функции трех переменных без ограничений и может быть решена средствами надстройки Excel Ђѕоиск решени€ї.

¬ терминах Ђѕоиска решени€ї функци€ €вл€етс€ функцией цели, а ее адрес в Excel - целева€ €чейка. јдреса параметров и - измен€емые €чейки. ќграничений нет. «адача состоит в установлении в целевой €чейке минимального значени€ функции . ¬ результате решени€ задачи в €чейках, отведенных под и , по€в€тс€ их значени€, при которых функци€ достигает минимума, а в целевой €чейке - минимальное значение функции .

ѕример 1. ѕусть требуетс€ подобрать аппроксимирующий многочлен по значени€м коэффициента надежности в зависимости от размера партии выпускаемых изделий, приведенными в таблице 2.

“аблица 2. «начени€ коэффициента надежности в зависимости от размера партии изделий

–азмер партии, шт.              
1,45 1,32 1,20 1,14 1,10 1,06 1,04

„тобы использовать надстройку Ђѕоиск решени€ї дл€ решени€ этой задачи, необходимо предварительно выполнить следующие действи€:

1. ¬ыбрать на рабочем листе Ё“ €чейки, в которых будут размещены исходные данные и результаты решени€ задачи (см. рис.2).  ак видно из рис.2, исходные данные расположены в таких €чейках: значени€ аргумента (размер партии изделий) - в €чейках ; значени€ функции (коэффициент надежности ) - в €чейках . ƒл€ размещени€ искомых величин выделены следующие €чейки: значени€ коэффициентов аппроксимирующего многочлена расположены в €чейках соответственно (до применени€ метода оптимизации эти €чейки будут пустыми); значение целевой функции находитс€ в €чейке (до применени€ метода оптимизации в этой €чейке будет ); среднеквадратическа€ погрешность находитс€ в €чейке .  роме того, на рабочем листе отведены также €чейки дл€ вспомогательных величин: €чейки - дл€ значений ; диапазон €чеек - дл€ значений аппроксимирующей функции в точках ; €чейки - дл€ отклонений значений аппроксимирующей функции от табличных значений ; диапазон - дл€ квадратов этих отклонений.

 

 
 

 

–ис.2. –азмещение информации на рабочем листе Ё“

2. ¬вести в выбранные €чейки исходные данные и расчетные формулы согласно таблице 3.

“аблица 3. –асчетные формулы к рис.2

  A B C D E F
  xi xi2 yi fi(xi)=a0+a1xi+a2xi2 ei=fi(xi)-yi ei2
    =A2^2 1,45 =$A$11+$B$11*A2+$C$11*B2 =D2-C2 =E2^2
    ß 1,32 ß ß ß
    ß 1,20 ß ß ß
    ß 1,14 ß ß ß
    ß 1,10 ß ß ß
    ß 1,06 ß ß ß
    ß 1,04 ß ß ß
          S(a0,a1,a2)= =сумм (F2:F8)
  a0 a1 a2   e= =корень(F9/7)
             

ѕримечани€.

1. —имвол ß в €чейке таблицы 3 означает, что указанную выше в соответствующем столбце формулу, следует скопировать в эту €чейку.

2. –ассмотренное выше размещение информации на рабочем листе имеет место только дл€ рассматриваемого примера. ƒл€ другого варианта задани€ оно может быть другим.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2015-02-12; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 404 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ѕобеда - это еще не все, все - это посто€нное желание побеждать. © ¬инс Ћомбарди
==> читать все изречени€...

1953 - | 1825 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.025 с.