Электромагнитные колебания. Энергия магнитного поля. Закон электромагнитной индукции устанавливает связь между электрическим и магнитным полем

Энергия магнитного поля. Закон электромагнитной индукции устанавливает связь между электрическим и магнитным полем. Электрическое поле между обкладками конденсатора сосредотачивает в себе определенную энергию. Аналогичным образом магнитное поле, окружающее катушку индуктивности, имеет свою суммарную энергию, которую также можно вычислить.

Работа электрического тока, изменяющегося во времени, приводит к возникновению магнитного поля W вокруг катушки индуктивности, в которой течет ток:

LI 2

A = W =, (3.6.1)

где индуктивность L определяется соотношением Ф = LI, т.е. представляет собой коэффициент пропорциональности меду током и магнитным потоком.

Колебательный контур представляет собой цепь из элементов, соединенных последовательно: катушки с индуктивностью L и конденсатора с емкостью C (рис. 3.18).

 

Рис. 3.18. Элементарный колебательный контур

Если разомкнуть контур и тем самым зарядить конденсатор, то между его обкладками появится электрическое поле. Если далее замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, то конденсатор начнет разряжаться. При этом в контуре возникнет электрический ток разряда конденсатора, а в ка-

тушке индуктивности появится магнитное поле. Электрическое поле в конденсаторе исчезнет совсем, а вся его энергия перейдет в энергию магнитного поля. Далее изменяющееся магнитное поле вызовет индукционный ток, который в соответствии с правилом Ленца будет стремиться поддержать ток разряда конденсатора. Конденсатор будет перезаряжаться и между его обкладками возникнет электрическое поле. Магнитное поле исчезнет совсем, его энергия превратится в энергию электрического поля. Уравнение свободных колебаний в колебательном контуре выглядит следующим образом:

d Q +

1 Q = 0, (3.6.2)

dt 2 LC

здесь Q (t) – зависимость заряда на обкладках конденсатора от времени.

Это уравнение аналогично уравнению свободных гармонических колебаний пружинного маятника (1.5.4). В стационарном состоянии заряд создает электрическое поле на обкладках конденсатора. Затем, перетекая с одной пластины, на другую, он преобразует электрическое поле в магнитное. Это происходит с некоторой частотой, характерной для заданного LC -контура.

В результате этого происходит периодическое превращение энергии электрического поля между обкладками конденсатора в энергию магнитного поля катушки индуктивности и обратно. Суммарная энергия электрического и магнитного полей для LC -контура при отсутствии активного сопротивления цепи остается неизменной:

LI 2

CU 2

W = + = const. (3.6.3)

2 2

Уравнения Максвелла. Развивая идеи Фарадея, шотландский ученый Джеймс Максвелл создал классическое представление об электромагнитном поле, содержащем в общем случае и электрическое и магнитное поля, связанные между собой и способные взаимно превращаться друг в друга. Он также составил систему из четырех уравнений, с помощью которых можно описать эти превращения. В отсутствие диэлектриков и магнетиков они имеют следующий вид в интегральной форме:

 

Ø EdS= Q, (3.6.4)

ɛ 0

Ø BdS= 0, (3.6.5)

Ø Edl= d0B, (3.6.6)

dt

Ø Bdl= µ0I+ µ0 ɛ 0

d0E

dt

. (3.6.7)

Уравнение (3.6.4) связывает электрическое поле с его источниками, электрическими зарядами: поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, заключенному внутри нее.

Уравнение (3.6.5) выражает отсутствие магнитных зарядов и объясняет замкнутость силовых линий магнитного поля.

Уравнение (3.6.6) – это закон электромагнитной индукции Фарадея, показывающий наличие связи между магнитным и электрическим полем. Он утверждает, что изменение потока магнитной индукции позволяет получить переменное электрическое поле.

Уравнение (3.6.7) было написано самим Максвеллом. Он, анализируя закон Ампера, пришел к выводу, что магнитное поле создается не только электрическим током, но и переменным электрическим полем. Последнее слагаемое (3.6.7) по смыслу означает, что изменение потока электрического поля Ф E (по аналогии с током проводимости Максвелл назвал эту составляющую током смещения I см) через некоторую поверхность приводит к возникновению переменного магнитного поля:

Ø Bdl= µ0I+ µ0 ɛ 0

d0E

dt

= µ0(I + Iсм). (3.6.8)

Последние два уравнения (3.6.6) и (3.6.7) демонстрируют взаимосвязь электрического и магнитного полей. Они показывают, что переменное магнитное поле порождает электрическое поле, а переменное электрическое поле создает магнитное поле.

Таким образом, уравнения Максвелла содержат в себе все основные законы электрического и магнитного полей и поэтому являются общими уравнениями электромагнитного поля в покоящихся средах.

Электромагнитные волны. Электрический заряд, кото-

рый совершает колебания, двигается ускоренно и

поэтому

излучает энергию. По теории Максвелла он является источником электромагнитных волн. Тогда колебания электрического поля в точке x описываются выражением (аналогично

механическим колебаниям, являющимся нических волн по формуле (1.6.3)):

источником меха-

, (3.6.10)

где

– время распростране-

ния колебаний от начальной точки до точки x, E 0– амплитуда колебаний электрического поля, v – скорость распространения волны. Аналогично колебания напряженности магнит-

ного поля

в точке с координатой x:

,

 

(3.6.11)

где E 0– амплитуда колебаний электрического поля, v – скорость распространения волны.

Эти формулы выражают законы изменения электриче-

ского и магнитного

полей, они называются уравнениями

плоской гармонической электромагнитной волны.

На рис. 3.19 представлен график плоской электромагнит-

ной волны. Векторы

E, H, v перпендикулярны друг другу.

Электромагнитные волны в отличие от механических волн, могут распространяться не только в различных средах, но и в вакууме.

 

Рис. 3.19. График плоской электромагнитной волны

 

 

Длина электромагнитной волны ß = rT = r. Из теории

v

Максвелла следует, что скорость распространения электро-

магнитных волн в вакууме (скорость света с) составляет

1 м

rвак== 3 · 108 = c. (3.6.12)

ƒs0µ0 с

В веществе скорость распространения электромагнитных волн уменьшается в √sµ раз:

r = c

√sµ

= 1

ƒs0µ0sµ

, (3.6.13)

где диэлектрическая ε и магнитная μ проницаемости среды зависят от электрических и магнитных свойств сред. Из приведенных выше соотношений можно сделать вывод, что свет

– это электромагнитная волна.

Распространяясь в пространстве, электромагнитные волны несут энергию. Из выражений для плотностей энергии электрического и магнитного полей

U = 1 e e E 2,

E 2 0

1 B 2

U B =

2 m 0 m

 

(3.6.14)

можно получить выражение для плотности энергии электромагнитных волн:

U = 1 e e E 2 + 1 B

. (3.6.15)

2 2 m 0 m

Энергия, переносимая волной в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны, называется плотностью потока энергии электромагнитного излучения или вектором Пойнтинга 29. Его направление совпадает с направлением

распространения электромагнитной волны, т.е. электромагнитная волна несет энергию в направлении своего распространения.

 

 

29 Плотность потока энергии величина скалярная, поскольку представляет собой отношение энергии к объему, в котором она находится. Вектор Пойтинга означает, что энергия распространяется в том же направлении, что и волна.