Основные зависимости теории надежности

Рассмотрим проведенные для оценки надежности испытания или эксплуатацию значительного числа N элементов в течении времени t (или наработки в других единицах). Пусть к концу испытания или срока эксплуатации останется N_p работоспособных (не отказавших) элементов и n отказавших. Тогда относительное количество отказов:

Q(t)=n/N. (14)

 

Если испытания проводятся как выборочное, то Q(t) можно рассматривать как статистическую оценку вероятности отказа или, если N достаточно велико, как вероятность отказа.

В дальнейшем в случаях, когда необходимо подчеркивать отличие оценки вероятности от истинного значения вероятности, оценка будет дополнительно снабжаться знаком " * ", в частности Q^*(t).

Вероятность безотказной работы оценивается относительным количеством работоспособных элементов

 

P(t)=N_p /N=1-n/N. (15)

 

Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна единице:

 

P(t)+Q(t)=1. (16)

 

Это же следует из приведенных выше зависимостей.

При t=0 n=0, Q(t)=0 и P(t)=1.

При t=¥ n=N, Q(t)=1 и P(t)=0.

Распределение отказов по времени характеризуется функцией плотности распределения f(t) наработки до отказа. В статистической трактовке

f(t)=Dn/(N Dt)=DQ(t)/Dt, (17)

 

в вероятностной трактовке

 

f(t)=dQ(t)/dt, (18)

 

где Dn и DQ(t) – приращение числа отказавших объектов и соответственно вероятности отказов за время Dt.

Вероятности отказов и безотказной работы в функции плотности f(t) выражаются зависимостями

 

Q(t)=ïf(t)dt; (19)

при t=¥, имеем

Q(t) = ïf(t)dt =1, (20)

P(t)=1-Q(t)=1- ï f(t)dt. (21)

Интенсивность отказов l(t) в отличие от плотности распределения относятся к числу объектов N_p, оставшихся работоспособными, а не к общему числу объектов. Соответственно в статистической трактовке

 

l(t)=Dn/(N_p Dt). (22)

 

Получим выражение для вероятности безотказной работы в зависимости от интенсивности отказов. Для этого в предыдущее выражение подставим

f(t)= - dP(t)/dt. (23)

 

Разделим переменные, произведем интегрирование и окончательно получим:

(24)

 

Последнее выражение является одним из основных уравнений теории надежности.