Рассмотрим проведенные для оценки надежности испытания или эксплуатацию значительного числа N элементов в течении времени t (или наработки в других единицах). Пусть к концу испытания или срока эксплуатации останется Np работоспособных (не отказавших) элементов и n отказавших. Тогда относительное количество отказов:
Q(t)=n/N. (14)
Если испытания проводятся как выборочное, то Q(t) можно рассматривать как статистическую оценку вероятности отказа или, если N достаточно велико, как вероятность отказа.
В дальнейшем в случаях, когда необходимо подчеркивать отличие оценки вероятности от истинного значения вероятности, оценка будет дополнительно снабжаться знаком " * ", в частности Q*(t).
Вероятность безотказной работы оценивается относительным количеством работоспособных элементов
P(t)=Np /N=1-n/N. (15)
Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные события, то сумма их вероятностей равна единице:
P(t)+Q(t)=1. (16)
Это же следует из приведенных выше зависимостей.
При t=0 n=0, Q(t)=0 и P(t)=1.
При t=¥ n=N, Q(t)=1 и P(t)=0.
Распределение отказов по времени характеризуется функцией плотности распределения f(t) наработки до отказа. В статистической трактовке
f(t)=Dn/(N Dt)=DQ(t)/Dt, (17)
в вероятностной трактовке
f(t)=dQ(t)/dt, (18)
где Dn и DQ(t) – приращение числа отказавших объектов и соответственно вероятности отказов за время Dt.
Вероятности отказов и безотказной работы в функции плотности f(t) выражаются зависимостями
Q(t)=ïf(t)dt; (19)
при t=¥, имеем
Q(t) = ïf(t)dt =1, (20)
P(t)=1-Q(t)=1- ï f(t)dt. (21)
Интенсивность отказов l(t) в отличие от плотности распределения относятся к числу объектов Np, оставшихся работоспособными, а не к общему числу объектов. Соответственно в статистической трактовке
l(t)=Dn/(Np Dt). (22)
Получим выражение для вероятности безотказной работы в зависимости от интенсивности отказов. Для этого в предыдущее выражение подставим
f(t)= - dP(t)/dt. (23)
Разделим переменные, произведем интегрирование и окончательно получим:
(24)
Последнее выражение является одним из основных уравнений теории надежности.
