Нехай функція y = f (x) має похідну у будь-якій точці x інтервалу ] a, b [. Тоді ця похідна y ¢ = f ¢(x) сама є функцією, визначеною в інтервалі ] a, b [, і можна шукати її похідну в точках цього інтервалу. Назвемо f ¢(x) першою похідною, або похідною першого порядку функції f (x).
Означення. Другою похідною функції f (x) у точці x (похідною другого порядку) називається похідна (якщо вона існує) від її першої похідної y цій точці.
Позначається друга похідна функції y = f (x) по-різному: f ¢¢(x), , , , , або просто y ¢¢, якщо зрозуміло, яка змінна є аргументом. Отже, за означенням,
.
Якщо функція y = f (x) має у точці x другу похідну, то вона називається двічі диференційовною у цій точці. Функція двічі диференційовна у інтервалі ] a, b [, якщо вона двічі диференційовна у кожній точці цього інтервалу.
Механічний зміст другої похідної. Нехай s = s (t) – рівняння прямолінійного руху і відома швидкість v (t) = s ¢(t) у момент t, яка змінюється з часом. За час D t вона зміниться на величину D v. Середнє прискорення ac дорівнює відношенню приросту швидкості D v за час D t до цього часу: b .
За прискорення в момент t приймають границю середнього прискорення, коли D t ® 0. Отже, ,
або, враховуючи, що v (t) = s ¢(t), маємо .
Т. ч., прискорення прямолінійного руху – це друга похідна від шляху по часу.
Приклад. Знайти другу похідну функції .
Розв’язання.
Тому
.
Аналогічно можна визначити третю похідну f ¢¢¢(x) (похідну третього порядку) функції y = f (x) у точці x як похідну від її другої похідної. А саме,
.
Похідні вищих порядків позначаються ще й за допомогою римських чисел: y IV, y V тощо.
Означення.n -ю похідною (похідною n -го порядку) функції
y = f (x) у точці x називається похідна від її (n – 1) - ї похідної:
f ( n )(x) = y ( n )(x) = (y ( n – 1)(x))¢ = .
Нехай функція y = y (x) задана неявно рівнянням
F (x, y) = 0, де y = y (x).
Ми уже знаємо як знайти першу похідну . Другу похідну знаходимо як похідну від , а потім, якщо у виразі для з’явиться , то підставимо її значення.
Приклад. Функція y = y (x)задана неявно рівнянням b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Знайти .
Розв’язання. Знаходимо : ;
; .
Знаходимо : .
В цей вираз підставляємо : .
Використовуючи те, що b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2, матимемо остаточно
.
Аналогічно знаходимо похідні третього і більш високого порядку.
Нехай функція y = y (x) задана параметрично рівняннями x = x (t), y = y (t).
Ми встановили формулу для її першої похідної: ,
яка, взагалі кажучи, є функцією змінної t. Отже, похідну від потрібно знову шукати як похідну функції, заданої параметрично, тобто .
Приклад. Нехай функція задана параметрично: x = R cos3 t, y = R sin3 t. Знайти .
Розв’язання. Знаходимо : .
Знаходимо за формулою .