Точечные и интервальные оценки

Статистическую оценку θ ^* параметра θ,которая определяется одним числом, называют точечной.

Оценка называется несмещенной, если М (θ ^*) = θ при любом объеме выборки. В противном случае оценка называется смещенной.

Оценка θ ^* параметра θ называется состоятельной, если при возрастании числа наблюдений n дисперсия оценки стремиться к нулю: (θ ^*) = 0.

Оценка θ ^* параметра θ называется эффективной, если она несмещенная и имеет наименьшую дисперсию по сравнению с другими оценками параметра θ при заданном объеме выборки n.

Точечные оценки математического ожидания и дисперсии:

1. Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания генеральной совокупности по выборке объема n:

варианта выборки, частота варианты , объем выборки.

, где

2. Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании:

«исправленная дисперсия»

3. Состоятельная несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при известном математическом ожидании а генеральной совокупности:

4. Состоятельная смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности по выборке объема n при неизвестном математическом ожидании:

Свойства точечных оценок:

1^о. . 2^о. а) б) .

3^о. Если , где с – некоторая константа, то а) ; б) , где .

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр θ с вероятностью , где заданное число, ; т.е. p (θ ∈()) .

Интервал называется доверительным интервалом, а число надежностью или уровнем доверия.

Квантилем уровня р называется число , такое что , где функция распределения параметра Х генеральной совокупности.

Интервальные оценки математического ожидания а и дисперсии D нормально распределенной генеральной совокупности по выборке объема n с надежностью

1^*. При известном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности

, где значение аргумента функции Лапласа , при котором

или , где точность оценки.

2^*. При неизвестном среднем квадратическом отклонении (и объеме выборки )

, где (см. п.2).

квантиль распределения Стьюдента уровня p с k степенями свободы (находится по таблице).

3^*. При неизвестном среднем квадратическом отклонении

уровня p с k степенями свободы.

, где квантиль распределения Пирсона

4^*. При известном математическом ожидании а

Задачи

1. Доказать, что если большие числа, и ввести условные варианты , где , то (свойство 3^о а).

2. Найти состоятельную несмещенную оценку М ^* и D ^*по данному распределению выборки объема , используя свойство 3^о а:

3. Доказать, что 1) (свойство 1^о); 2) (свойство 2^о).

4. По выборке объема 41 найдена смещенная оценка дисперсии , найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

5. Доказать, что при больших и , где (свойство 3^об).

6. Найти состоятельную несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности по распределению выборки объема , используя свойство 3^об:

7. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожи­дания а нормально распределенного признака X гене­ральной совокупности, если известны генеральное сред­нее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки п =16.

8. Найти минимальный объем выборки, при кото­ром с надежностью 0,975 точность оценки математиче­ского ожидания а генеральной совокупности по выбороч­ной средней равна , если известно среднее квад­ратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

9. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10:

	-2

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожида­ние а и дисперсию D нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительных интервалов.

Д/з

1. Найти состоятельную несмещенную оценку М ^* по данному распределению выборки объема :

2. По выборке объема 51 найдена смещенная оценка дисперсии , найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

 

3. Найти состоятельную несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности по распределению выборки объема

4. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожи­дания а нормально распределенного признака X гене­ральной совокупности, если известны генеральное сред­нее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки п =25.

5. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 12:

	-0,5	-0,4	-0,2		0,2	0,6	0,8		1,2	1,5

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание а и дисперсию D нормально распределенного признака генеральной сово­купности с помощью доверительных интервалов.