Симуляция Вавилона

Ранее отмечалось, что для изучаемых в физике типов уравнений компьютерные методы дают только аппроксимацию к математике. Типично такая ситуация возникает, когда непрерывные числа «перевариваются» цифровым компьютером. Например, в классической физике (где предполагается, что пространство-время непрерывно) бейсбольный мяч проходит через бесконечное число различных точек, по мере того как он летит с домашней базы в левое поле.127 Отслеживание бесконечных положений мяча и бесконечных возможностей для скоростей в этих положениях всегда будет недостижимо. В лучшем случае компьютеры могут осуществить высокоточные, но всё равно приближённые вычисления, отслеживая мяч на каждой миллионной, или миллиардной, или триллионной доле сантиметра. Это прекрасно подходит для большинства целей, но всё равно является аппроксимацией. Квантовая механика и квантовая теория поля, вводя различные формы дискретности, отчасти исправляют ситуацию. Однако обе эти теории интенсивно используют непрерывно меняющиеся числа (значения волн вероятности, значения полей и так далее). Такие же рассуждения справедливы для всех остальных стандартных уравнений в физике. Компьютер способен выполнить приближённые вычисления, но не может точно смоделировать уравнения.[39]

Однако, существуют типы математических функций, для которых компьютерная симуляция может быть абсолютно точной. Они принадлежат к классу так называемых вычислимых функций, являющихся функциями, которые могут быть вычислены на компьютере за конечное число дискретных шагов. Возможно, компьютеру понадобится циклически повторять этот набор шагов, но рано или поздно точный ответ будет получен. Каждый шаг вычислений не требует никакой оригинальности или новизны; это исключительно вопрос уточнения результата. Тогда на практике, для симуляции движения бейсбольного мяча компьютер программируется уравнениями, являющимися вычислимыми аппроксимациями к школьным законам физики. (Как правило, непрерывное пространство и время аппроксимируются на компьютере мелкой решёткой.)

Наоборот, компьютер, пытающийся просчитать невычислимую функцию, будет крутиться неопределённо долго, не приходя ни к какому ответу, независимо от его скорости и памяти. Так будет происходить при компьютерном вычислении точной непрерывной траектории бейсбольного мяча. В качестве более ощутимого примера представим смоделированную вселенную, в которой компьютер запрограммирован для создания поразительно работоспособного смоделированного повара, который готовит пищу для всех тех смоделированных обитателей — и только для них, — кто не готовит себе еду. Пока повар неистово печёт, жарит и парит, у него появляется аппетит. Вопрос: кого компьютер обяжет приготовить еду для повара?128 Задумайтесь об этом, и голова у вас распухнет. Повар не может готовить для себя, потому что он готовит только для тех, кто не готовит для себя, но если повар не готовит для себя, то он относится к тем, для кого он должен готовить. Будьте уверены, компьютер справится не лучше вас. Невычислимые функции похожи на этот пример: они ставят в тупик способность компьютера завершить вычисление, и исполняемая компьютером симуляция зависает. Поэтому успешные вселенные, входящие в состав смоделированной мультивселенной, будут основываться на вычислимых функциях.

В этих рассуждениях предполагается, что существует пересечение между смоделированной и окончательной мультивселенными. Рассмотрим уменьшенную версию окончательной мультивселенной, включающую только те вселенные, которые возникают на основе вычислимых функций. Тогда, вместо того чтобы просто быть постулированной в виде ответа на один частный вопрос — почему эта вселенная реальна, а другие возможные вселенные нет? — уменьшенная версия окончательной мультивселенной может возникать как итог некоторого процесса. Армия компьютерных пользователей из будущего, возможно, не сильно отличающихся по темпераменту от сегодняшних энтузиастов игры Second Life, могла бы создать эту мультивселенную в результате своего ненасытного увлечения использованием симуляций, основанных каждый раз на новых уравнениях. Эти пользователи не смогут создать все смоделированные вселенные из математической библиотеки Вавилона, потому что те из них, которые основаны на невычислимых функциях, невозможно будет запустить. Но они будут непрестанно прокладывать себе дорогу сквозь вычисляемое крыло библиотеки.

Расширив первоначальные идеи Цузе, учёный-компьютерщик Юрген Шмидхубер пришёл к похожему заключению, но с другой точки зрения. Шмидхубер осознал, что на самом деле легче запрограммировать компьютер для создания сразу всех возможных вычислимых вселенных, чем индивидуально запрограммировать компьютеры для их создания одной за другой. Чтобы понять почему, представим программирование компьютера для симуляции игры в бейсбол. В каждой игре количество необходимой информации огромно: каждая деталь каждого игрока, физическая и ментальная, каждая деталь стадиона, арбитров, погоды и так далее. Каждая новая симуляция игры требует от вас задать новую груду данных. Однако, если вы решите смоделировать не одну или несколько игр, но вообще все мыслимые игры, объём программирования упростится. Потребуется всего лишь задать одну мастер-программу, которая будет систематически выполняться для каждой возможной переменной — определяющей игроков, окружение и другие существенные свойства, — после чего запустить симуляцию. Выудить какую-то определённую игру из получающейся кучи игр будет затруднительно, но можно быть уверенным, что рано или поздно любая возможная игра будет проиграна.

Суть в том, что для задания какой-либо одной составляющей из большого набора требуется большое количество информации, а задание всего набора в целом зачастую гораздо проще. Шмидхубер обнаружил, что это заключение применимо к смоделированным вселенным. Программист, приглашённый для симуляции набора вселенных, основанных на определённом наборе математических уравнений, может пойти простым путём: подобно бейсбольному фанату, он может предпочесть написать одну, относительно короткую программу, которая создаст все вычислимые вселенные, и предоставить компьютер самому себе. Где-то внутри гигантского набора смоделированных вселенных программист обнаружит те вселенные, ради которых его пригласили. Я бы не хотел платить за почасовое использование компьютера, потому что время для создания этих симуляций будет гигантским. Но я с удовольствием оплатил бы почасовой труд программиста, потому что набор команд для создания всех вычислимых вселенных будет гораздо менее объёмным, нежели требуемый для создания любой выделенной вселенной.129

Любой из этих сценариев — много пользователей, моделирующих много вселенных, или одна мастер-программа, моделирующая их все разом — пригоден для образования смоделированной мультивселенной. Поскольку возникающие вселенные будут основываться на широком наборе различных математических законов, можно эквивалентным образом считать, что эти сценарии генерируют часть окончательной мультивселенной — ту часть, что охватывает вселенные, основанные на вычислимых математических функциях.[40]

Недостаток генерации только части окончательной мультивселенной в том, что в уменьшенной версии не так ясно видна идея, которая изначально вдохновила Нозика на принцип изобилия. Если все возможные вселенные не существуют, если полная окончательная мультивселенная не генерируется, то опять всплывает вопрос, почему некоторые уравнения реализуются в природе, а другие нет. В частности, мы по-прежнему будем задаваться вопросом, почему вселенные, основанные на вычислимых уравнениях, занимают такое выделенное место под солнцем.

Продолжая крайне спекулятивную линию изложения этой главы, заметим, что разделение на вычислимые/невычислимые о чём-то нам говорит. Вычислимые математические уравнения позволяют обойти неудобные вопросы, которые были подняты в середине предыдущего столетия такими выдающимися мыслителями, как Курт Гёдель, Алан Тьюринг и Алонзо Чёрч. Знаменитая теорема Гёделя о неполноте показывает, что определённые математические системы с необходимостью допускают существование истинных утверждений, которые нельзя доказать, оставаясь в рамках этой системы. Физики давно интересовались возможными следствиями из рассуждений Гёделя для своих целей. Может быть, физика тоже обязана быть неполной в том смысле, что некоторые свойства реального мира никогда не будут доступны для математического описания? В контексте уменьшенной окончательной мультивселенной ответ на этот вопрос отрицательный. Вычислимые математические функции по определению находятся в границах вычислений. Это те самые функции, для которых есть процедуры, следуя которым, компьютер может их успешно просчитать. Поэтому, если бы все вселенные в мультивселенной были основаны на вычислимых функциях, они бы успешно преодолели теорему Гёделя; в это крыло библиотеки математического Вавилона, в эту версию окончательной мультивселенной вход для тени Гёделя будет закрыт. Может быть, именно это выделяет вычислимые функции.

Будет ли у нашей вселенной место в этой мультивселенной? То есть, если когда-нибудь мы сформулируем окончательные законы физики, будут ли они описывать космос с помощью вычислимых математических функций? Не просто приблизительно вычислимых функций, как в случае с современными физическими законами. Но точно вычислимых? Это никому не известно. Если так, то развитие физики должно привести нас к теориям, в которых непрерывность не играет никакой роли. Должна превалировать дискретность, ядро вычислительной парадигмы. Пространство, конечно, выглядит непрерывным, однако мы это протестировали до расстояний не глубже, чем миллиардная доля от миллиардной доли метра. Возможно, что однажды, с более точным оборудованием, мы установим, что пространство дискретно на фундаментальном уровне; но пока этот вопрос остаётся открытым. Подобное ограниченное понимание имеет место и в случае интервалов времени. Открытия, перечисленные в главе 9, согласно которым информационная ёмкость любой области пространства задаётся одним битом на единицу планковской площади, являются важным шагом в направлении дискретности. Однако вопрос о том, насколько далеко может продвинуться цифровая парадигма, ещё очень далёк от решения.130 Независимо от того, появятся когда-нибудь разумные симуляции или нет, я думаю, что мы действительно придём к мнению, что этот мир фундаментально дискретен.