Вывод: Уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядка

Я сменю у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись будет выглядеть стандартнее что ли:

Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го порядка:

Проведем замену:

Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :

– подставим найденную функцию во второе уравнение системы:

Подобные интегралы я ласково называю дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие – нужно догадаться (хотя бы научным тыком), как их решать.

Данный интеграл берётся по частям:

Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован метод подведения функции под знак дифференциала.

Таким образом:

Но это ещё не всё, выполняем обратную замену:
Если изначально было , то обратно будет

В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли:

Решим задачу Коши. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию :

Ответ: частное решение:

Для монстров дифференциального исчисления вкратце напоминаю алгоритм проверки дифференциального уравнения:

1) Проверяем, выполнено ли начальное условие.
2) Берём ответ и находим производную .
3) Подставляем ответ и найденную производную в исходное ДУ. Должно получиться верное равенство.

Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную производную и выполнять громоздкую подстановку.

Когда я подбирал первый пример для этой статьи, очень хотелось разобрать распространенное уравнение Бернулли в духе , однако сразу же после замены оно становится до неприличия похоже на Пример 8 урока неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка. Поэтому пусть лучше будет что-нибудь необычное.

Но, вы не расстраивайтесь, вот пара более простых примеров для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти решение ДУ , удовлетворяющее начальному условию

Пример 3

Найти решение задачи Коши
,

Полные решения и ответы в конце урока.

В третьем примере перед решением целесообразно представить уравнение в стандартном виде: .

Вообще, иногда составители сборников и методичек зашифровывают уравнения до неузнаваемости, например:

Как говорится, сиди студент и разгадывай ребус – какого хрена типа этот диффур. То ли уравнение с разделяющимися переменными, то ли уравнение в полных дифференциалах, то ли еще какое-нибудь уравнение.

Пример 4

Найти решение ДУ , соответствующее начальному условию

Корни, куда же без них.

Решение: Пожалуйста, классический вид уравнения Бернулли.
Сначала убираем «игрек» из правой части, для этого делим каждую часть на :

Теперь с помощью замены нужно избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом:

Из вышесказанного следует замена:
Найдем производную:
, откуда выразим:

Таким образом:

Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:


Составим и решим систему: .

Из первого уравнения найдем :



– подставим во второе уравнение:

Таким образом:
Обратная замена: если , то
Общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Кстати, данное уравнение очень легко проверить.

Возможно, некоторые удивились, почему я ничего не рассказал про математика Бернулли. Забыл. Не будем нарушать традиций. Якоб Бернулли почти итальянец, жил в Швейцарии, говорил на 5-ти языках. В семье Бернулли 9 (!) математиков, одним словом – династия. Но с этой фамилией у меня стойко ассоциируются строчки гимна физмата:

Три дня в деканате покойник лежал, в штаны Пифагора одетый,
В руках Фихтенгольца он томик держал, что сжил его с белого света,
К ногам привязали тройной интеграл, и в матрицу труп обернули,
А вместо молитвы какой-то нахал прочёл теорему Бернулли.

Пример 5

Найти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.

Немногочисленный пример из моей выборки, когда требуется найти только общее решение. Полное решение и ответ в конце урока.

Мы рассмотрели наиболее распространенные версии уравнения Бернулли – с «игреком» во второй степени и с «игреком» под квадратным корнем. Другие варианты встречаются реже. Разберём пример, когда «игрек» находится в кубе.

Пример 6

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Разделим обе части на :

Избавляемся от «игрека» в «полюбившемся» слагаемом, для этого проведем замену:

В результате:

Получено линейное уравнение, проведем замену:

Решим систему:

Из первого уравнения найдем :




– подставим во второе уравнение:

Таким образом:

Проведём обратную замену: если изначально , то обратно:

В принципе, здесь можно выразить общее решение в виде:
, но, согласитесь, смотрится не очень…, словно Дедушка Мороз подсунул в подарок гнилую мандаринку. Эта фишка уже рассматривалась мной на уроке Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Нет-нет, испорченные продукты питания никому не предлагал =)

Лично я в похожей ситуации почти всегда склоняюсь к тому, чтобы оставить ответ в виде общего интеграла (заодно париться не нужно).

Ответ: общий интеграл:
Ещё одно решение:

Когда вам предложено найти только общее решение уравнения Бернулли, ответ полезно дополнить тривиальным решением .

Перед кремлёвским салютом рассмотрим заключительный пример с отрицательной степенью.

Пример 7

Найти частное решение дифференциального уравнения
,

Это пример для самостоятельного решения.

Ну вот, мешок с подарками пуст, надеюсь все остались довольны. Хотя, честно, Новый Год не люблю, сегодня вычитал на Анекдоте.ру меткий афоризм: 10 дней праздников обычно проводишь либо без всякой пользы либо с большим вредом.

Удачной вам сессии!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Данное ДУ является уравнением Бернулли. Найдем общее решение.


Проведем замену:

Получено линейное неоднородное уравнение, замена: .



Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем :



– подставим во второе уравнение:



Таким образом:
Обратная замена:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:
Красиво.

Пример 3: Решение:
Данное дифференциальное уравнение является уравнением Бернулли, разделим обе части на :

Проведем замену:


Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:



Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :



– подставим во второе уравнение:



Таким образом:

Обратная замена:
Общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Пример 5: Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли


Замена:

В полученном линейном неоднородном уравнении, проведем замену:



Решим систему: .
Из первого уравнения найдем :




– подставим во второе уравнение:



Таким образом:
Общее решение:
Обратная замена:

Ответ: общее решение
! Примечание: Не забывайте про тривиальное решение , его бывает не лишним включить в ответ.

Пример 7: Решение:
Данное ДУ является уравнением Бернулли.

Проведем замену:

Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:



Составим и решим систему:

Из первого уравнения найдем :



– подставим во второе уравнение:



Таким образом:

Обратная замена:
Частное решение, соответствующее начальному условию , можно найти прямо из общего интеграла . Для этого вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» – единицу:

Таким образом, частное решение:

Частное решение также выясняется и более «привычным» способом через общее решение .

Ответ: частное решение: