Лекции.Орг
Лекции.Орг
 

Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

Физика звезд



12.1 Энерговыделение происходит в объеме, и потому растет пропорционально кубу характерного размера объекта, теплоотвод же происходит с поверхности, а ее площадь возрастает как квадрат характерного размера. В итоге с увеличением размера тела (при сохранении темпа энерговыделения) его поверхностная температура должна расти. Дальше додумайте сами.

12.2 Молярная масса газа -- это среднее значение массы одной частицы газа, выраженное в атомных единицах массы. Своим низким значением молярная масса солнечного вещества обязана, во-первых, тому, что основной его компонентой (70% по массе) является водород, и, во-вторых, практически полной его ионизации. При ионизации атома водорода, масса которого почти равна атомной единице массы, появляются две частицы -- протон и электрон. Масса электрона пренебрежимо мала по сравнению с массой протона. Поэтому молярная масса чисто водородного полностью ионизованного газа близка к 0.5. В недрах Солнца молярная масса немного больше этого значения (0.6). Причина -- присутствие более тяжелых элементов (молярная масса чисто гелиевого полностью ионизованного газа равна 4/3 [поймите, почему], для чистого кислорода она близка к 2 и т. д.).

Полное число частиц, составляющих Солнце, можно оценить следующим образом:

где г -- атомная единица массы. Вклад в массу наружных неионизованных слоев, где значение больше, пренебрежимо мал.

12.3 При плотности в 150 г/см3 и средней молярной массе 0.6 (см. задачу ) концентрация частиц равна

На самом деле средняя молярная масса в центре Солнца сейчас несколько больше, чем 0.6, так как водород там уже сильно выгорел, превратившись в гелий. Однако порядок величины n остается тем же, а только он нам и нужен.

Концентрация фотонов чернотельного излучения при температуре равна (см. задачу )

Это на три с лишним порядка меньше концентрации частиц. Значит, и роль давления излучения в недрах Солнца мала (см. решение задачи ).

Любопытно, что, согласно расчетам моделей строения Солнца, в большей части его массы плотность и температура T связаны соотношением . Поэтому отношение , найденное нами для центра Солнца, характерно для его недр в целом. Фотонов в недрах Солнца (и всех звезд, кроме самых массивных) гораздо меньше, чем протонов.

12.4 Плотность воды 1 г/см3. При этом известно, что в жидкостях молекулы почти соприкасаются друг с другом. При плотностях, существенно больших плотности воды, имеющихся в недрах Солнца, атомы водорода ионизуются давлением. В результате доля объема, занятая частицами (соответственно атомами и голыми ядрами), уменьшается с до , где см -- размер ядра, см -- размер атома. Таким образом, ядра начнут соприкасаться и "мешать" друг другу лишь при плотностях г/см3. Это -- ядерные плотности. Они характерны для нейтронных звезд. В принципе вплоть до этих плотностей ионизованное вещество может оставаться газом.

Наряду с плотностью, агрегатное состояние звездного вещества определяется температурой. Так, известно, что при понижении температуры белого карлика атомные ядра в его недрах должны выстраиваться в кристаллическую решетку. Чтобы ядра атомов двигались свободно, т.е. образовывали газ, требуется, чтобы их кинетическая энергия kT существенно превосходила энергию кулоновского взаимодействия, равную по порядку величины , где -- среднее расстояние между ядрами. Условие с использованием соотношений (для чисто водородной плазмы)

где n -- концентрация ядер, можно переписать в следующем виде:

или в числах

где . Для центра Солнца имеем , г/см3 (см. предыдущую задачу), так что . Итак, даже при плотности в 150 г/см3 вещество в центре Солнца из-за высокой температуры остается газом.

Дальнейшее придется принять на веру. Согласно расчетам моделей строения Солнца, соотношение , справедливое для центра Солнца, приближенно выполняется и в большей части его недр. Поэтому повсюду в недрах Солнца, а не только в его центре, вещество является газом.

12.5 Вычислим энергию, выделяющуюся при синтезе ядра атома гелия из четырех протонов. По формуле Эйнштейна имеем , так как в ходе данной ядерной реакции (точнее, цепочки реакций синтеза -частицы из четырех протонов) "исчезает" (точнее, 0.7%) массы. Полная энергия покоя Солнца равна . Если бы Солнце целиком состояло из водорода, то при полном его превращении в гелий выделилась бы энергия . Время, на которое этой энергии хватило бы для поддержания светимости Солнца на ее нынешнем уровне, составляет лет. Коэффициент 5/3 "несерьезен" -- Солнце не целиком состоит из водорода и т. д. В действительности за время своей жизни на главной последовательности Солнце успеет сжечь лишь примерно 10% своих запасов водорода. Таким образом, Солнцу отпущено примерно лет "спокойной" жизни на главной последовательности, что вовсе неплохо!

12.6 Будем считать, что Солнце испускает чернотельное излучение с K. Средняя энергия, приходящаяся на один чернотельный фотон, равная (см. задачу ), составляет тогда эВ. Поэтому число фотонов, излучаемых Солнцем за счет энергии, выделяющейся при синтезе одной -частицы, равно шт. Так как при синтезе -частицы из четырех протонов два из них за счет -распада превращаются в нейтроны, то при этом рождаются два нейтрино. В итоге число ежесекундно излучаемых Солнцем фотонов оказывается в раз больше числа испускаемых им нейтрино.

12.7 Вещество, аккрецируемое Солнцем, при падении достигает у его поверхности второй космической скорости км/с. Искомый темп аккреции определим из условия равенства кинетической энергии выпадающего за 1 с вещества и светимости Солнца:

откуда

Как будет изменяться продолжительность года, т.е. период обращения Земли P при изменении массы Солнца? Из третьего закона Кеплера

находим

С другой стороны, должен сохраняться угловой момент , так что

Из этих двух соотношений находим, что

откуда при получаем, что . Это соответствует уменьшению продолжительности года на c в год, чего явно не происходит. Можно поэтому с уверенностью утверждать, что Солнце светит не за счет аккреции.

12.8 По значениям температур можно заключить, что речь идет о массивных звездах, светимость которых обеспечивается CN-циклом. Известно, что темп энерговыделения при реакциях CN-цикла примерно пропорционален . Поэтому искомое отношение равно . Не хватайтесь за калькулятор -- все можно подсчитать в уме, воспользовавшись замечательным пределом

Действительно,

При росте температуры всего на темп энерговыделения возрастает более чем в 7 раз!

12.9 Ответ очевиден: один год. При меньшем периоде центробежная сила разорвет звезду.

12.10 Приравнивая центробежную силу на экваторе пульсара к силе тяжести , получаем предельную угловую скорость вращения: . Быстрее вращаться пульсар не может, так как тогда центробежная сила разорвет его. Предельный период вращения есть . Плотность звезды с таким периодом вращения равна

Это -- нижняя оценка плотности, при которой пульсар с периодом с не будет еще разорван центробежной силой. Мы получили разумную оценку плотности нейтронных звезд. Она близка к ядерной: г/см3.

12.11 Время схлопывания Солнца в точку -- это время свободного падения к центру Солнца тела, которое в начальный момент покоилось на его поверхности. Рассматривая движение такого тела, можно принять, что вся масса Солнца сосредоточена в центре (это допущение справедливо, если тело в процессе движения не обгоняет опадающие на центр слои, расположенные ниже; детальный анализ показывает, что это действительно так). Тогда время свободного падения равно половине периода P обращения тела по выродившейся в отрезок эллиптической орбите с большой полуосью (и эксцентриситетом e=1). Этот период мы вычислим по третьему закону Кеплера (см. также задачи и ):

откуда для времени схлопывания Солнца (индекс G -- от gravitation) находим

Это -- важное характерное время. При нарушениях механического равновесия заметные изменения должны происходить на временах . Поскольку никаких существенных изменений в состоянии Солнца не происходит на гораздо больших временных интервалах -- это прямой наблюдательный факт, -- то можно с уверенностью утверждать, что Солнце находится в механическом (гидростатическом) равновесии.

Использованные выше рассуждения дают следующее выражение для времени схлопывания произвольного сферически-симметричного самогравитирующего облака массы M, первоначально имевшего радиус R:

где -- начальная средняя плотность облака. Подставив сюда г/см3, найдем, что время схлопывания межзвездного облака такой начальной плотности составляет лет.

12.12 Проведем анализ размерностей фигурирующих в задаче величин (ср. задачу ). У нас имеются следующие размерные параметры: масса "планеты" (или лучше сказать -- самогравитирующего тела) M, ее радиус R, размерная постоянная K, входящая в уравнение состояния и, наконец, постоянная тяготения G. Пусть [Q] -- размерность величины Q. Тогда, с одной стороны, , с другой же стороны ньютонова сила тяготения , отнесенная к площади поверхности сферы радиуса R, также имеет размерность давления: . Отношение двух фигурирующих здесь комбинаций определяющих размерных величин есть отвлеченное число. Обозначим его , так что

откуда

Следует ожидать, что -- число порядка единицы: так "всегда" бывает.

Из полученного сейчас выражения следует, что радиус самогравитирующей равновесной конфигурации, построенной из вещества с уравнением состояния , однозначно определяется значением K. Замечательно, что масса M выпала. Отсюда можно заключить, что от добавления массы или от удаления с тела части его вещества радиус "планеты" меняться не будет. Оказывается поэтому, что если вещество имеет уравнение состояния , то в один и тот же объем можно поместить любую массу. В действительности, конечно, масса все же будет ограничена сверху, так как при добавлении вещества гравитационная потенциальная яма будет становиться глубже. Скорость убегания

будет расти . Когда она станет приближаться к скорости света c, должны начать проявляться отклонения поля тяготения от ньютонова за счет эффектов общей теории относительности.

Полученный результат -- независимость R от M -- кажется настолько невероятным, что сначала верится в него с трудом. Подтвердим его более детальным анализом (менее подготовленные читатели могут его пропустить). Это позволит получить значение . После этого поймем "на пальцах", в чем же суть дела, и обсудим некоторые важные для физики компактных звезд заключения общего характера, которые можно сделать на основе анализа нашей простой задачи.

Переходим к более аккуратному рассмотрению, которое позволит нам получить . Уравнение механического равновесия самогравитирующей сферически-симметричной конфигурации (звезды, планеты) имет вид

При это дает

Здесь -- масса в сфере радиуса r, так что

Поэтому из предыдущего уравнения следует, что

Если ввести

то это уравнение приводится к виду

где

Мы пришли к уравнению, по форме совпадающему с уравнением гармонических колебаний. (Для этого достаточно было догадаться ввести новую неизвестную y вместо .) Общее его решение имеет вид

где A и B -- произвольные постоянные. При r=0 значение равно, очевидно, нулю, и поэтому B=0. Итак,

На поверхности тела, при r=R, мы должны иметь , откуда находим

так что

Таким образом, аккуратный расчет полностью подтвердил то, что дал простой анализ размерностей. Безразмерный параметр действительно оказался близок к единице:

Если вдуматься, то неизменность радиуса при добавлении или удалении вещества не есть что-то невероятное. При добавлении массы, казалось бы, радиус будет возрастать. В этом "казалось бы" все и заключено. На самом деле добавляемое вещество имеет вес и потому сдавливает нижележащие слои. Если вещество несжимаемо, радиус тела растет . На этом простейшем случае и основана "интуиция" тех, кто не учитывает влияния сжимаемости на изменение радиуса при росте массы.

Если давление и плотность связаны степенной зависимостью

то говорят, что мы имеем дело с политропой индекса n. Рассматривавшийся нами случай соответствует n=1; при n=0 имеем несжимаемое вещество. Чем меньше n, тем труднее сжать вещество, тем оно "жестче". Теперь ясно, что при всех n<1 добавление массы сопровождается увеличением радиуса, в случае же n=1 нижние слои "проседают" под действием веса добавляемого вещества ровно на столько, что это компенсирует увеличение радиуса за счет добавления вещества. Если n>1, то с увеличением массы радиус должен убывать!

Бывает ли так? Да. Таковы, в частности, белые карлики. Чем больше масса белого карлика, тем меньше его радиус. При массах эта зависимость имеет вид (что соответствует политропе индекса n=3/2), при больших массах, а потому и больших плотностях, поскольку радиус убывает с M, скорость убывания радиуса увеличивается. Объяснение того, почему это происходит, завело бы нас слишком далеко. Ограничимся констатацией этого факта. При приближении массы к так называемому пределу Чандрасекара достигаются столь большие плотности, что вещество начинает радикально менять свои свойства: электроны начинают захватываться ядрами, превращая имеющиеся в них протоны в нейтроны. Идет процесс нейтронизации вещества. Белых карликов с массой, большей чандрасекаровского предела, в природе нет и быть не может -- зато могут быть и есть такие нейтронные звезды.





Дата добавления: 2015-09-20; просмотров: 204 | Нарушение авторских прав


Похожая информация:

© 2015-2017 lektsii.org - Контакты

Ген: 0.093 с.