Лекции.Орг
Лекции.Орг
 

Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

Излучение



8.1 Функция Планка в шкале длин волн имеет вид

а приближение Вина дается формулой

Поэтому

Значит, относительная погрешность приближения Вина = . С другой стороны, исследуя функцию Вина на максимум, легко найти, что

Этот очень полезный результат есть закон смещения Вина. Обычно ограничиваются тем, что отмечают постоянство произведения . Однако очень важно и численное значение , точнее, то, что это число заметно превосходит 1. Действительно, мы имеем , так что мало при . Интенсивность в максимуме, которую мы (теперь обоснованно) вычисляем в приближении Вина, есть

Если не пользоваться приближением Вина, а работать с точной планковской функцией, то оказывается, что равно не точно 5, а 4.965 (проверьте!). Все остальное, включая заключение, что , остается в силе.

Длинноволновое приближение Рэлея-Джинса, противоположное приближению Вина, обеспечивает относительную погрешность лишь при (проверьте). Скажем, точность в 10% приближение Рэлея-Джинса дает лишь при , превосходящих в 25 раз!

В итоге оказывается, что вся планковская кривая , как ее видит глаз на обычном графике, неотличима от виновской кривой. Большинство же студентов (да, пожалуй, и экс-студентов тоже) ошибочно полагает, что приближение Вина для применимо только слева от максимума, приближение Рэлея-Джинса начинает работать слегка правее него, а сам максимум хорошо описывается лишь точной формулой Планка. На самом деле, как мы убедились, все совсем не так.

8.2 Планковские кривые, соответствующие разным T, не пересекаются, поскольку . Отсюда следует, что при любом (фиксированном) значения монотонно возрастают с T. Далее, высота максимума планковской кривой, т.е. максимальное значение интенсивности, пропорциональна для и для . Это легко показать, исследуя на максимум соответствующие функции Планка (см. задачу ). Площадь же под обеими кривыми, и и , растет (закон Стефана-Больцмана). Поэтому с ростом температуры кривая Планка в шкале длин волн "заостряется", а в шкале частот -- "притупляется".

8.3 Пусть f(x) дифференцируема в точке . Для простоты считаем, что и . Для получения степенной аппроксимации f(x) в окрестности , т.е. представления f(x) вида

поступим следующим образом. Будем рассматривать как функцию . Тогда имеем обычную линеаризацию в окрестности :

Отсюда, потенцируя, получаем вышеприведенную степенную аппроксимацию f(x), причем обнаруживается, что

Подобные степенные аппроксимации используются в физике (и, в частности, в астрофизике) буквально на каждом шагу. К сожалению, ни в одном известном авторам курсе математического анализа об этом нет ни слова -- хотя учить этому следовало бы всех, даже изучающих анализ не слишком глубоко. Видимо, считается, что студент сам все это сообразит, когда немного "подрастет". Мы решили нарушить традицию и не ждать, когда это случится.

Приведенная в условии задачи степенная аппроксимация зависимости чернотельной интенсивности от T в окрестности получается только что описанным стандартным способом. Выкладку предоставляем читателю.

Степенная аппроксимация функции Планка, которую почему-то не отыщешь ни в одном учебнике, позволяет понять многие качественные особенности солнечного и звездных спектров. См., в частности, задачу .

8.4 А почему, собственно, она должна равняться (3/2)kT? Ведь фотон -- не классическая частица, движущаяся с нерелятивистской скоростью. А только к таким частицам и применима классическая формула (3/2)kT.

Чтобы найти среднюю энергию одного чернотельного фотона , надо объемную плотность энергии поля излучения

поделить на число фотонов в единице объема

Сделав в обоих интегралах одну и ту же замену , обнаруживаем, что

где

Для оценки A можно воспользоваться приближением Вина, т.е. пренебречь 1 по сравнению с в двух последних интегралах (ср. с обсуждением в задаче ). Тогда немедленно получим, что , поскольку (советуем это запомнить)

Последнее легко доказывается интегрированием по частям. Итак, ; вычислив интегралы точно, мы нашли бы, что A=2.70, так что окончательно

Таким образом, средняя энергия одного чернотельного фотона без малого вдвое больше средней энергии теплового движения нерелятивистской частицы. Однако вклад каждого фотона в давление почти в точности такой же, как и каждой частицы: давление излучения , газовое же давление P = n k T, где и n -- концентрации фотонов и частиц, соответственно. (Как вы думаете, почему так получается? Впрочем, это уже скорее физика, чем астрономия. Но ведь решаемся же мы нет-нет да и приучить вас к "физической математике", так почему же не поучить чуть-чуть и "астрономической физике"?) Из только что сказанного следует, что отношение концентраций фотонов и частиц есть одновременно (с точностью ) и отношение давления излучения к газовому (см. задачу ).

8.5 Выражение для уже появлялось в решении предыдущей задачи:

Подстановка приводит его к виду

где

Таким образом, . Чтобы найти точное значение коэффициента пропорциональности, надо получить C. Как мы знаем (см. решение предыдущей задачи), приближенно можно считать, что C=2. Точное же значение C получается так:

где -- дзета-функция Римана:

Число не выражается через какие-либо "стандартные" постоянные ( , e, постоянную Эйлера и т.п.). Оно равно .

После подстановки всех постоянных в полученное выше выражение для находим, что

Мы несколько отступили здесь от нашего обычного стиля -- получать скорее оценки, чем точные результаты, и стараться избегать громоздких расчетов. Сделать это хотя бы один раз, однако, полезно.

А вот как формулу можно получить совсем просто, комбинируя другие известные результаты. Плотность лучистой энергии равновесного излучения равна

где a -- постоянная плотности излучения:

а средняя энергия одного фотона (см. предыдущую задачу). Поэтому

что сразу же и дает коэффициент 20 при . На самом деле, конечно, ничего принципиально нового в таком способе расчета нет -- просто мы использовали готовое численное значение постоянной плотности излучения a (оно есть, например, у Аллена [1]).

8.6 Частота фотона, испускаемого при переходе атома водорода с уровня m на уровень n, дается известной формулой

где -- частота предела ионизации с первого уровня, Гц.

Перейдем от частот к длинам волн:

где .

Искомый переход найдем перебором. Вначале положим n=1. Тогда для m=2 получаем . Это знаменитая линия лайман-альфа, или . Ясно, что для m>2 будем иметь , т.е. переходы на первый уровень нам не подходят. Возьмем n=2. Тогда для m=3 получим . Это и есть искомый переход (линия H ). Различие в длине волны в четвертом знаке (6 вместо 3) нас смущать не должно, так как при расчете мы использовали значение лишь с тремя значащими цифрами.

8.7 По формуле из решения предыдущей задачи находим

Таким образом, линия межзвездного водорода H лежит в субмиллиметровом диапазоне. Излучение в нем поглощается земной атмосферой. Наземные наблюдения линии невозможны.

8.8 Линия H возникает при переходе в атоме водорода. Из общей сериальной формулы для водорода (см. задачу )

полагая m=n+1 и считая, что , находим

Согласно этой формуле, линия H , например, имеет длину волны около 5 см.

Подобные радиолинии, возникающие при переходах между близкими высокорасположенными уровнями, давно уже наблюдаются в туманностях. Как вы думаете, есть ли надежда обнаружить их также в радиоизлучении Солнца? (Ср. задачу .)

8.9 Исходим из сериальной формулы для водорода в шкале частот:

Полагая в ней и считая, что и , получим

Отсюда видно, что, действительно, при увеличении на единицу частота соответствующего перехода возрастает на одну и ту же величину которая есть не что иное как частота линии H .

8.10 Ионизация атомов водорода с n-го уровня может производиться фотонами с длиной волны короче, чем та, которую имеет излучение, образующееся при переходе атома водорода с уровня на уровень n. По формуле из решения задачи находим, что эта длина волны равна . При n = 2 имеем 3648 (на самом деле 3646 ). Таким образом, излучение видимого диапазона не способно ионизовать атомы водорода со второго уровня. Это очень важное заключение.

8.11 Причина этого -- различие плотности. В атмосферах белых карликов она значительно выше, чем в солнечной хромосфере (почему?). Поэтому средние расстояния между атомами в хромосфере гораздо больше, чем в атмосферах белых карликов. Но радиус n-й боровской орбиты быстро растет с n, именно, . Понятно, что он не может быть больше среднего расстояния между атомами -- иначе станет непонятно, какому именно атому принадлежит электрон, находящийся на этом уровне, т.е. произойдет его "обобществление". Поэтому, чем выше плотность, тем меньшее число уровней реализуется, а потому и тем меньшее число бальмеровских линий может возникать.

Удивительно, но факт: просто подсчитывая число бальмеровских линий, которые видны в спектре той или иной звезды, можно оценить плотность ее атмосферы!





Дата добавления: 2015-09-20; просмотров: 169 | Нарушение авторских прав


Похожая информация:

© 2015-2017 lektsii.org.

Ген: 0.091 с.