Распределение молекул в потенциальном поле

СИЛ ТЯЖЕСТИ (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА)

При выводе основного уравнения МКТ газов и распределения Максвелла предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, а это значит, что молекулы распределяются по объему равномерно. Однако молекулы любого газа всегда находятся в потенциальном поле сил тяжести Земли. Тяготение с одной стороны, и тепловое движение молекул – с другой приводят к некоторому стационарному состоянию, при котором давление газа с ростом высоты убывает.

Получим закон изменения давления с высотой, предполагая, что по всей высоте: поле тяготения однородно (g = const); температура одинакова (Т = const); массы всех молекул одинаковы.

Пусть на высоте h давление р. Тогда на высоте h + dh давление – р + dp. Причём, если dh >0, то dp < 0. (р + dp) – р = – r·g·dh. Из уравнения состояния Менделеева-Клапейрона, имеем:

.

Теперь или .

Интегрируем правую и левую часть:

; .

Откуда, . (26)

Это так называемая барометрическая формула. Она позволяет определять давление атмосферы как функцию высоты над уровнем моря:

. (27)

Т.к. давление прямо пропорционально концентрации молекул, то можно получить закон изменения концентрации молекул с высотой при условии, что температура с высотой не меняется (Т = const):

. (28)

Учитывая, что М = m∙N_A, а R = k∙N_A из (27) получим:

. (29)

Т.к. mgh = U(h) – потенциальная энергия одной молекулы на высоте h, то

(30)

– распределение Больцмана.