Этапы математического моделирования

В настоящее время в различных областях знаний завоевал большое признание метод математического моделирования. В его основе лежит приближенное описание какого-либо класса про­цессов и явлений символами математики и логики. Процесс ма­тематического моделирования можно разделить на четыре этапа.

Первый этап – определение класса изучаемых объектов и за­конов, связывающих рассматриваемые объекты. Этот этап требует знания множества фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Результатом этого этапа является запись в математических терминах сформулиро­ванных качественных представлений о связях между объектами моделирования, т.е. построение математической модели.

Второй этап – это получение результатов с помощью матема­тической модели для дальнейшего их сопоставления с результата­ми наблюдений изучаемых явлений. Здесь важную роль играет ма­тематический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника, позволяющая количественно решить сложные математические задачи.

Третий этап – выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, т.е. согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели и если да, то с какой точностью. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правиль­ности положений, лежащих в основе изучаемой модели. Метод моделирования является единственным методом изучения непо­средственно недоступных явлений макро- и микромира.

Четвертый этап состоит в анализе модели в соответствии с накопленными данными об изучаемых явлениях и процессах и в усовершенствовании модели.

Экономическое прогнозирование, которое наиболее сис­темно реализуется с помощью математических моделей, является ключевым мо­ментом в процессе принятия управленческих решений. Прогнозирование позволяет не только получить значения экономических показателей в буду­щем, оценить эффективность управленческой деятельности, но и выявить возможные ее направления в зависимости от изменения того или иного фактора, вли­яющего на принятие управленческих решений.

Несомненным преимуществом математических моделей явля­ется то, что оценка вариантов управленческих решений может осуществляться, с одной стороны, с учетом прогнозных значений экономических показателей, а не только фактических данных, с другой стороны, с учетом ресурсных затрат, необходимых для реализации конкретных меро­приятий и программ.

Еще одним несомненным достоинством математического мо­делирования, облегчающим процесс анализа информации и при­нятия решения, является возможность использования при изуче­нии исследуемых моделей ЭВМ.

Основные понятия математического моделирования.

Существует известное изречение, что правильно поставить задачу – значит наполовину решить ее. Следует признать, что правильная постановка задачи является сама по себе сложной задачей. Однако методология процесса постановки задач (как первого этапа операционного исследования) выходит за рамки проблематики данного раздела, посвященного математическим аспектам решения задач организационного управления. Для этого очень важно суть задачи словесно описать таким образом, чтобы были возможны дальнейшая формализация и разработка математической модели, то есть описание задачи на математическом языке.

Формальная структура постановки задач базируется на определенной совокупности элементов. Соотнесение всех условий задачи этим элементам позволяет «обнажить» суть задачи и, в конечном итоге, получить ее четкую, однозначно понимаемую формулировку.

Принято выделять следующие элементы общей структуры задач принятия решений:

а) цели, ради достижения которых принимается решение;

б) множество управляемых (разрешающих) переменных, значения которых могут определяться лицом, принимающим решение (ЛПР);

в) множество внешних (экзогенных) переменных, значения которых не контролируются ЛПР и имеют вероятностный или неопределенный характер;

г) множество параметров, которые также не контролируются, но считаются в условиях данной задачи вполне определенными;

д) ограничения – предельные значения тех параметров и неконтролируемых переменных, которые не могут быть превзойдены или не достигнуты при реализации решения;

е) решение (или стратегия) – некоторая допустимая совокупность значений управляемых переменных;

ж) критерий эффективности (показатель качества) решения, на основе которого производится оценка и сравнение вариантов решений, и выбор лучшего.

Предполагается, что приведенные выше элементы должны быть измеримыми, то есть иметь характер «количества» или, по меньшей мере, «величины».

Тогда дальнейший процесс разработки математической модели задачи будет сводиться к изучению взаимосвязей между целями, переменными и параметрами и отражению этих взаимосвязей в виде математических выражений (уравнений, неравенств и т.п.).

Среди этих выражений можно выделить две группы:

К первой отнесем условия достижения целей, т.е. выражения, отображающие зависимости между управляемыми переменными и поставленными целями.

Ко второй группе относятся выражения, отображающие условия-ограничения, описывающие связи между управляемыми переменными и теми из параметров и «внешних» переменных, которые или не могут быть превзойдены, или не достигнуты при реализации решения. (В отечественной литературе математические выражения, как правило, на упомянутые группы не подразделяются и обозначаются единым термином – «ограничения»).

Совокупность значений управляемых переменных, удовлетворяющих системе указанных выше выражений (условиям достижения целей и ограничениям), принято называть допустимым решением (стратегией, планом).

Множество допустимых решений называется областью допустимых решений.

Поскольку проблема принятия решения заключается не только в нахождении допустимого решения, но и в выборе наилучшего из них по принятому критерию, – возникает необходимость определения значения критерия в зависимости от значений контролируемых переменных.

Функция, определяющая эту зависимость, называется целевой функцией.

Таким образом, совокупность (система) математических выражений, отражающих условия достижения целей и условия выполнения ограничений, вместе с целевой функцией и представляют собой математическую модель задачи.

Допустимое решение, при котором значение целевой функции достигает экстремума (минимального или максимального значения в зависимости от условий задачи), называется оптимальным решением.

Приведенные понятия (элементы структуры задач принятия решений) являются наиболее общими. Далее, при рассмотрении отдельных типов задач, понятийный аппарат будет расширен. Так, например, при изучении задач массового обслуживания будут введены такие понятия, как дисциплина очереди, канал обслуживания, интенсивность обслуживания и др.; в задачах упорядочения и координации (управление проектами) – такие понятия, как критические работы, резервы времени и т.п.; в состязательных задачах (теория игр) – понятия ход, платежная матрица, чистые и смешанные стратегии и т.д.

При постановке задачи и ее моделировании необходимо прежде всего оценить, какой из формулировок принципа экономичности соответствует данная ситуация принятия решения.

Принцип экономичности может формулироваться двояко:

- заданных целей (результатов) достигнуть при минимальных затратах;

- при заданных пределах затрат достигнуть цели в максимальной степени (достичь максимума результата).

Принцип экономичности в первой формулировке иногда называют «принципом экономии средств», во второй – «принципом максимального эффекта». Если задача формулируется по «принципу максимального эффекта», то целевая функция являет собой условие достижения цели (цель – максимум результата), остальные математические выражения, входящие в модель, – суть условия-ограничения.

Часто принцип экономичности формулируют так:

«достигнуть максимальной степени реализации цели (максимального результата) при минимальных затратах». Такое определение неверно, внутренне противоречиво с содержательной точки зрения и ведет к постановке математически неразрешимой задачи.

Кроме того, у руководителей возникает искушение оптимизировать решение задачи по нескольким критериям. Например, следующим образом: «найти такое решение, которое обеспечило бы максимум прибыли при минимуме годовых издержек на содержание производства и минимуме капитальных вложений».

При всей внешней привлекательности и кажущейся естественности – такая постановка ведет к неразрешимой задаче. Желательно, как правило, стремиться так формулировать задачи, чтобы при множественности целей и ограничений, критерий оптимизации решения (а, стало быть, и целевая функция) был один. Это еще раз подтверждает важность правильного обоснования цели и критерия эффективности при постановке задачи, так как при этом определяется и выбор соответствующего варианта формулировки принципа экономичности.

Рассмотренные в данном разделе модели и методы оптимизации ориентированы преимущественно на решение однокритериальных задач.

Следует отметить, что в ряде сложных организационных задач возникает проблема многокритериальности. Некоторые подходы к постановке и решению такого рода задач будут рассмотрены в Теме 2.9.