Магнитное поле в веществе

Вопрос 10. Магнитное поле в веществе

До сих пор полагалось, что проводники, по которым текут токи, создающие магнитное поле, находятся в вакууме. Если рассматривать проводники с током в какой–либо среде, магнитное поле изменяется. Всякое вещество является магнетиком, т. е. способно под действием магнитного поля намагничиваться, приобретать магнитный момент. Намагниченное вещество создает магнитное поле В ', которое накладывается на обусловленное токами поле В ₀. Оба поля в сумме дают результирующее поле:

В = В ₀+ В ’ (43.1)

Как и в случае диэлектриков во внешнем электрическом поле, истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изменяется в пределах межмолекулярных расстояний. Под В в дальнейшем имеется ввиду усредненное (макроскопическое) поле.

Для объяснения намагничивания тел Ампер предположил, что в молекулах вещества циркулируют круговые токи. Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает в окружающем пространстве магнитное поле.

В отсутствие внешнего поля молекулярные токи ориентированы беспорядочно, вследствие чего результирующее поле равно нулю. В силу хаотической ориентации магнитных моментов отдельных молекул суммарный магнитный момент тела также равен нулю. Под действием поля магнитные моменты молекул приобретают преимущественную ориентацию в одном направлении, магнетик намагничивается – его суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. Магнитные поля отдельных молекулярных токов в этом случае уже не компенсируют друг друга и возникает поле В '.

Намагничивание магнетика естественно характеризовать магнитным моментом единицы объема. Эту величину называют вектором намагничивания и обозначают J. Даже если магнетик намагничен неоднородно, вектор намагничивания в данной точке определяется следующим выражением:

(43.2)

где D V –физически бесконечно малый объем, взятый в окрестности рассматриваемой точки, р _m – магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование производится по всем молекулам, заключенным в объеме D V.

Вопрос 11. Описание поля в магнетиках.

Найдем поток вектора В = В ₀+ В ’ через произвольную замкнутую поверхность:

Как было установлено, что линии вектора В ₀ (характеризующего поле, создаваемое макроскопическими токами) всегда замкнуты. То же самое справедливо и для линий вектора В '. Поэтому оба интеграла, стоящие справа, равны нулю (каждая из линий В ₀ или В ' пересекает замкнутую поверхность четное число раз, причем она входит внутрь поверхности столько же раз, сколько выходит наружу). Следовательно,

(44.1)

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора В: поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Теперь обратимся к циркуляции вектора В, которая по определению равна

Ранее было установлено, что циркуляция вектора В ₀, выражаемая первым из интегралов, стоящих в правой части, пропорциональна алгебраической сумме макроскопических токов i, охватываемых контуром, по которому берется циркуляция. Аналогично циркуляция вектора В ' (второе слагаемое) должна быть пропорциональна сумме всех, охватываемых контуром молекулярных токов i _m. Следовательно, циркуляция вектора В результирующего поля пропорциональна сумме всех охватываемых контуром токов (как макроскопических i, так и молекулярных i _m,):

(44.2)

Возникает ситуация, аналогичная той, с которой мы столкнулись при рассмотрении электрического поля в диэлектриках [см. формулу A6.2)]: для того чтобы определить В, нужно

 

знать не только токи, текущие по проводам, но и молекулярные токи. Путь, позволяющий обойти это затруднение – введение величины, аналогичной вектору электрического смещения. Можно найти такую вспомогательную величину, которая связана простым соотношением с вектором В _n определяется лишь макроскопическими токами.

Чтобы установить вид этой вспомогательной величины, попробуем выразить фигурирующую в (44.2) сумму молекулярных токов через вектор намагничения магнетика J. В эту сумму должны войти только те молекулярные токи, которые оказываются «нанизанными» на контур, для которого вычисляется циркуляция. Как видно из рис. 77, элемент контура d l, образующий с направлением намагничения угол a, пересекает те молекулярные токи, центры которых попадают внутрь косого цилиндра с объемом SM cos a d l (SM – площадь, охватываемая отдельным молекулярным током). Если n – число молекул в единице объема, то суммарный ток, охватываемый элементом d l, равен i _m nS _mcos a d l. Произведение i _m S _m равно магнитному моменту р _m отдельного молекулярного тока. Следовательно, выражение i _m nS _m представляет собой магнитный момент единицы объема, т. е. дает модуль вектора J, a i _m nS _mcos a – проекцию i _l вектора J на направление элемента d l. Таким образом, суммарный молекулярный ток, охватываемый элементом d l, равен i _ld l, а сумма молекулярных токов, охватываемых всем контуром:

D4.3)

Исключив из формул (44.2) и (44.3) сумму молекулярных токов, легко получить следующее соотношение:

(44.4)

Выражение, стоящее в скобках под знаком интеграла, и есть искомая вспомогательная величина. Ее обозначают буквой Н и называют напряженностью магнитного поля.

Итак, напряженностью магнитного поля называется физическая величина, определяемая соотношением

(44.5)

С использованием этой величины формула (44.4) может быть записана в виде

(44.6)

Если макроскопические токи распределены в пространстве с плотностью j, формула (44.6) видоизменяется следующим образом:

(44.7)

(S – произвольная поверхность, ограниченная контуром, по которому берется циркуляция). Формулы (44.6) и (44.7) выражают теорему о циркуляции вектора Н: циркуляция вектора напряженности магнитного поля по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопических токов, охватываемых этим контуром.

Из сказанного выше вытекает, что напряженность магнитного поля Н является аналогом электрического смещения (электрической индукции) D. Первоначально предполагалось, что в природе имеются подобные электрическим зарядам магнитные массы, и учение о магнетизме развивалось по аналогии с учением об электричестве. В те времена и были введены названия: «магнитная индукция» для В и «напряженность поля» для Н.

Впоследствии выяснилось, что магнитных масс в природе не существует и что величина, названная магнитной индукцией, в действительности является аналогом не электрического смещения D, а напряженности электрического поля Е (соответственно Н –– аналогом не Е, a D). Однако изменять уже установившуюся терминологию не стали, тем более, что вследствие различной природы электрического и магнитного полей (электростатическое поле потенциально, магнитное – соленоидально) величины В и D обнаруживают много сходства в своем поведении (например, линии В, как и линии D, не претерпевают разрыва на границе двух сред).

В вакууме J = 0, поэтому Н превращается в В / m ₀ и формулы (44.6) и (44.7) переходят в формулы (42.3 ) и (42.4 ).

Из (41.1 ) следует, что напряженность поля прямого тока в вакууме определяется выражением

(44.8)

из которого видно, что напряженность магнитного поля имеет размерность, равную размерности силы тока, деленной на размерность длины. В соответствии с этим единица напряженности магнитного поля в СИ носит название ампер на метр (а/м). Согласно (44.8) на расстоянии b = 1/2 p (м)от прямого провода, по которому течет ток силой 1 а, напряженность магнитного поля равна 1 а/м. В этом случае магнитная индукция равна 4p×10^–7 тл.

Вектор намагничения J принято связывать не с магнитной индукцией, а с напряженностью поля. Как показывает опыт, вектор J связан с вектором Н в той же точке магнетика соотношением

J = c H (44.12)

где c – характерная для данного магнетика величина, называемая магнитной восприимчивостью1). Согласно (44.5) размерность Н совпадает с размерностью J. Следовательно, c –безразмерная величина.

Подставив в формулу (44.5 ) выражение (44.12) для J, получим

откуда

(44.13)

Безразмерная величина

m =1+ c (44.14)

называется относительной магнитной проницаемостью или просто магнитной проницаемостью вещества.

В отличие от диэлектрической восприимчивости k, которая принимает лишь положительные значения (вектор поляризации Р в изотропном диэлектрике всегда направлен по полю Е), магнитная восприимчивость c бывает как положительной, так и отрицательной. Поэтому магнитная проницаемость m может быть как больше, так и меньше единицы.

Подставив (44.14) в формулу (44.13), придем к соотношению

(44.15)

которое и является тем простым соотношением между векторами В и Н, о котором упоминалось выше.

Таким образом, напряженность магнитного поля Н есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор В, но в m ₀ m раз меньший по модулю (в анизотропных средах векторы Н и В могут не совпадать по направлению).

Перейдем к выяснению физического смысла величин Н и m. Рассмотрим однородное магнитное поле в вакууме, которое можно задать с помощью либо вектора В ₀, либо вектора H ₀ = В ₀/ m ₀. Вектор H ₀ мы назовем напряженностью внешнего поля. Внесем в это поле бесконечно длинный круглый стержень из однородного магнетика и расположим его вдоль В ₀

 

(рис. 78). Под действием поля молекулярные токи установятся так, что их магнитные моменты расположатся вдоль оси стержня, вследствие чего их плоскости станут перпендикулярными к этой оси. Рассмотрим молекулярные токи, лежащие в произвольно выбранном поперечном сечении стержня. В каждой точке внутри стержня смежные молекулярные токи текут в противоположные стороны, так что их совместное действие равно нулю. Некомпенсированными будут лишь участки токов, примыкающие к поверхности стрежня. Таким образом, суммарное действие молекулярных токов будет таким, какое вызвал бы макроскопический ток, текущий по поверхности стержня. Обозначим силу этого тока, приходящуюся на единицу длины стержня (линейную плотность тока), через I ₁. Очевидно, что цилиндр, обтекаемый током, эквивалентен соленоиду с числом ампер–витков ni, равным линейной плотности тока I ₁. Следовательно, все молекулярные токи возбуждают совместно такое поле, какое создал бы в вакууме соленоид с числом ампер–витков, равным I ₁. Согласно формуле (42.6) магнитная индукция этого поля равна

В ' = m ₀ I ₁. (44.20)

Легко видеть, что направление В ' совпадает с направлением В ₀. Вне стержня В ' равна нулю.

Выделим мысленно в стержне перпендикулярный к оси слой толщины d l. Молекулярные токи, заключенные в объеме этого слоя, эквивалентны круговому току силы I ₁d l. Согласно формуле (39.1) магнитный момент этого тока равен

d p _m = I ₁ S d l

где S – площадь поперечного сечения стержня. Разделив d p _m на объем слоя d V = S d l, получим для намагничения стержня следующее выражение:

J = I ₁ (44.21)

Таким образом, намагничение стержня совпадает с линейной плотностью тока.

С учетом (44.21) формула (44.20) принимает вид

В ' = m ₀ J (44.22)

(мы воспользовались тем, что векторы В ' и J параллельны).

Складывая векторы В ' и В ₀, находим вектор магнитной индукции результирующего поля

B = В ₀ + В ' = В ₀ + m ₀ J

Наконец, подставив это значение В в формулу (44.5 ), получаем

Н = B ₀/ m ₀ = Н ₀. (44.23)

Итак, в рассмотренном нами случае напряженность поля в магнетике совпадает с вектором магнитной индукции внешнего поля, деленным на m ₀, т. е. оказывается равной напряженности внешнего поля.

Согласно формуле (44.15 ), умножив Н на m ₀ m, мы получим индукцию В:

B = m ₀ m H = m ₀ m (B ₀/ m ₀) = m B ₀ (44.24)

Отсюда следует, что относительная магнитная проницаемость m показывает, во сколько раз усиливается поле в магнетике.

Заметим, что поскольку поле В ' отлично от нуля только внутри стержня, магнитное поле вне стержня остается без изменений.

Вопрос 12. Преломление линий магнитной индукции

Выясним, что происходит на границе двух однородных изотропных магнетиков с разными m. Рассмотрим воображаемый цилиндр высоты h, основания которого S ₁ и S ₂ расположены по разные стороны поверхности раздела (рис. 79). Применим к этому цилиндру теорему Гаусса (44.1). Потоком В через боковую поверхность цилиндра можно пренебречь, так как h мы будем стремить к нулю. Поток через верхнее основание цилиндра равен B _1n S ₁, где B _1n – нормальная составляющая вектора В в первом магнетике в непосредственной близости к поверхности раздела. Аналогично поток через нижнее основание есть B _2n S ₂, где B _2n – нормальная составляющая вектора В во втором магнетике также в непосредственной близости

 

 

к поверхности раздела магнетиков.

Сложив эти два потока, мы получим полный поток, который согласно теореме Гаусса должен быть равен нулю:

Ф _B = B _1n S ₁ + B _2n S ₂ = (B _1n + B _2n) S = 0.

Отсюда следует, что B _1n = – B _2n. Если проектировать B ₁ и В ₂ на одну и ту же нормаль, то получится, что

B _1n = B _2n. (45.1)

Заменив согласно (44.15) составляющие В соответствующими составляющими вектора Н, умноженными на m ₀ m, получим соотношение

m ₀ m ₁ H _1n = H _2n m ₀ m ₂

из которого следует, что

(45.2)

Теперь возьмем на границе магнетиков прямоугольный контур (рис. 80) и вычислим для него циркуляцию Н. Ширину контура а возьмем столь малой, чтобы вкладом, вносимым в циркуляцию сторонами, перпендикулярными к поверхности раздела, можно было пренебречь. Тогда для циркуляции получается выражение b { Н _1t – Н _2t). Поскольку контур не охватывает макроскопических токов, циркуляция должна быть равна нулю [см. (44.6)], откуда вытекает, что

Н _1t = Н _2t (45.3)

Заменив согласно (44.15) составляющие Н соответствующими составляющими вектора В, деленными на m ₀ m, получим соотношение

 

 

(45.4)

Резюмируя, можно сказать, что при переходе через границу раздела двух магнетиков нормальная составляющая вектора В и тангенциальная составляющая вектора Н изменяются

 

непрерывно. Тангенциальная же составляющая вектора В и нормальная составляющая вектора Н при переходе через границу раздела претерпевают разрыв.

Таким образом, при переходе через границу раздела двух сред вектор В ведет себя аналогично вектору D, а вектор Н – аналогично вектору Е.

На рис. 81 показано поведение линий В при пересечении границы двух магнетиков. Обозначим углы между линиями В и нормалью к поверхности раздела соответственно a ₁ и a ₂. Отношение тангенсов этих углов равно

откуда с учетом (45.1) и (45.4) получается закон преломления линий магнитной индукции:

(45.5)

При переходе в магнетик с большей m линии магнитной индукции отклоняются от нормали к поверхности.

Легко видеть, что это приводит к сгущению линий. Сгущение линий В в веществе с большой магнитной проницаемостью дает возможность формировать магнитные

пучки, т. е. придавать им необходимую форму и направление. В частности, чтобы осуществить магнитную защиту некоторого объема, его окружают железным экраном. Как

видно из рис. 82, сгущение линий магнитной индукции в толще экрана приводит к ослаблению поля внутри.

На рис. 83 дана схема лабораторного электромагнита. Он состоит из железного ярма, на которое насажены питаемые током катушки. Линии магнитной индукции оказываются сосредоточенными в основном внутри ярма.

Лишь в узком воздушном зазоре они проходят в среде с малой m. Вектор В пересекает границы между воздушным зазором и ярмом по нормали к поверхности раздела. Отсюда согласно D5.1) следует, что магнитная индукция в зазоре и в ярме одинакова по величине. Применим теорему о циркуляции Н к контуру, проходящему по оси ярма. Напряженность поля с большой точностью можно считать всюду в железе одинаковой и равной H _жел = В / m ₀ m _жел. В воздухе H _возд = В / m ₀ m _возд.

Обозначим длину участка контура в железе через l _жел. а в зазоре– через l _возд. Тогда циркуляцию можно представить в виде H _жел l _жел + H _возд l _возд. Согласно (44.6) эта циркуляция должна быть равна Ni, где N – суммарное число витков катушек электромагнита, i – сила тока. Таким образом, имеем

откуда

(m _возд отличается от единицы лишь в пятом знаке после запятой). Обычно l _возд бывает порядка 10 см = 0,1 м, l _жел – порядка 1 м, m _жел достигает значений порядка нескольких тысяч. Поэтому вторым слагаемым в знаменателе можно пренебречь и написать, что

(45.6)

Следовательно, магнитная индукция в зазоре электромагнита имеет такую величину, какую она имела бы внутри соленоида без сердечника, на единицу длины которого было бы намотано число витков, равное N / l _возд [см. (42.10) В = m ₀ ni ]. Увеличивая общее число витков и уменьшая размеры воздушного зазора, можно получать поля с большим значением В. С помощью электромагнитов с железным сердечником удается получать поля с В до ~1 Тл.