Формы представления чисел в ЭВМ

В настоящее время в ВТ преимущественно использу­ются две формы пред-ставления чисел. Первая из них получила наз­вание представления чисел с фикси-рованной запятой (естественной формы), а вторая - представления чисел с плаваю- щей запятой (нормальной или полулогарифмической формы).

Любое число X в позиционной системе счисления с основанием k можно записать как

М называется мантиссой числа X, а Р – порядком того же числа. Если в ЭВМ каждому числу X однозначно соответствует мантисса М, а порядок фиксиро- ван для всех чисел, то такое число называется представленным в форме с фикси-рованной запятой. Порядок Р в этом случае устанавливается при подготовке задачи к решению, причем число в сущности является масштабным коэффициентом, на который должны быть умножены исходные данные для исключе­ния переполнения разрядной сетки. Если же каждому числу од­нозначно соответствует пара Р и М, то такое представление называ­ется формой с плавающей запятой (при этом поло­же- ние запятой в разрядной сетке ЭВМ физически никак не обозначается).

При представлении чисел в форме с фиксированной запятой по­ложение за- пятой сохраняется неизменным для всех чисел, с которы­ми оперирует ЭВМ. С целью упрощения вычисления масштабных коэффициентов запятую обычно фиксируют пе-ред старшим разря­дом мантиссы или после младшего.

В первом случае ЭВМ оперирует с числами, которые меньше единицы. Если число разрядов для записи мантисс составляет n, то минимальное (по абсолютной величине) число, которое может быть представлено в машине, равно k ^–n,а макси-мальное –1 - k ^–n. При таком представлении чисел удобно вы­полнять операцию ум- ножения, так как при этом не происходит пере­полнения разрядной сетки.

Во втором случае вмашине выполняются операции над целыми числами, абсолютныевеличины которых находятся впределах от 0 до kⁿ – 1.Иногда запятуюсдвигают запределы разрядной сетки вправо на l разрядов,т. е. вводят l условныхразрядов. При этом абсолютная величина максимального числа в машинесоставляет k^n+l - k^l, аминимального– k^l.

Разрядная сетка для представления чисел (формат данных) вЭВМ с фикси-рованной запятой состоит из двух частей: один разряд для представления знака, остальные разряды – для представления мантиссы М.

При представлении чисел в форме с плавающей запятой порядок Р может быть положительным или отрицательным целым числом. Мантисса же в большин- стве случаев является положительной или отрицательной правильной дробью, при- чем k ^{- 1} ≤ M < 1. Если в ЭВМ для записи порядка используются т разрядов, а для записи мантиссы – п разрядов, то в этой машине может быть представлено следую- щее максимальное (по абсолютной величине) число:

В свою очередь, минимальное (по абсолютной величине) отличающееся от нуля число в такой машине равно

Кроме указанных выше разрядов для представления порядка и мантиссы в разрядной сетке ЭВМ с плавающей запятой есть так­же два разряда для представ- ления знаков порядка и мантиссы.

В ЭВМ, где используется представление чисел в форме с плава­ющей запятой, арифметические операции выполняются как над ман­тиссами чисел, так и над их порядками. Часто также необходимо выполнять операцию нормализации чисел, сущ-ность которой состо­ит в выполнении условия k ^{- 1} ≤ М < 1. Поэтому арифметико- ло­гические устройства ЭВМ с плавающей запятой являются более сложными и ме- нее быстродействующими, чем ЭВМ с фиксирован­ной запятой. С другой стороны, в ЭВМ с фиксированной запятой из-за масштабирования возникают трудности при подготовке за­дач к решению. По этим причинам совокупность средств ВТ, в ко­торых используется представление чисел в форме с фиксированной запятой, составляют в основном специализированные ЭВМ для уп­равления технологическими процессами, обработки статистической информации и результатов измерений, решения задач с большим числом логических операций и т. д. Представление же чисел в форме с плавающей запятой используется в универсальных ЭВМ средней и большой произ-водительности для решения широкого круга инже­нерных и научных задач.

Так как для двух рассмотренных форм представления чисел при­сущи свои положительные качества и недостатки, то в современных универсальных больших ЭВМ используются обе формы. Например, при работе в режиме с фиксированной запятой ЭВМ Единой системы (ЕС) запятая располагается справа от младшего раз-ряда. Основной формат данных ЭВМ ЕС показан на рис. 3, а и имеет 32 двоичных разряда. На этом же рисунке указан вес каждого разряда. Отрица­тельные числа пред-ставляются здесь дополнительными кодами. Для повышения производительности и для лучшего использования запоминающих устройствв ЭВМ ЕС могут быть заданы числа длиной в 16разрядов. Кроме того, для вычислений с повышенной точностью(например, приумножении и делении) предусмотрена возможность использования 64-разрядных двоичных чисел. В режиме с фикси­рованной запятой ЭВМ ЕС могут производить не только целочис­ленные вычисления, но и выполнять операцив над командами.

Числа с плавающей запятой в ЭВМ ЕС могут быть двух форма­тов: коротко- го и длинного. Короткий формат (рис. 3, б) имеет 32 разряда, из которых 7 разря- дов предназначены для представле­ния порядка, 24 – для представления мантиссы и 1 разряд – для знака мантиссы. Специального разряда для знака порядка в ЭВМ

Рис. 3

ЕС нет. Порядки здесь отсчитываются относительно числа 64, т. е. вводится сме- щенный порядок Р_см = 64 + P. Таким образом, от­рицательные порядки Р будут пред-ставлены смещенными порядка­ми Р_см, меньшими 64, а положительные порядки – смещенными порядками, большими 64. Введение смещенного порядка позволяет свести операции над порядками к арифметическим действиям над целыми положи-тельными числами. Следовательно, максималь­ный положительный порядок числа в машинах ЕС равен 1111111₍₂₎ – 1000000₍₂₎ = 0111111₍₂₎ = 63₍₁₀₎, а максимальный отри-цательный порядок 0000000₍₂₎ – 1000000₍₂₎ = – 64₍₁₀₎. Мантиссы отрицатель­ных чисел при этом представляются прямым кодом. Длинный формат, используемый для вычислений с повышенной точностью, имеет 64 раз­ряда. Для порядка отводится столько же разрядов, что и при ко­ротком формате, а для мантиссы – 56 разрядов. Запятая находится слева от старшего разряда мантиссы.

Представление чисел с запятой, фиксированной перед старшим разрядом, использовано в микроЭВМ семейства «Электроника С5» (рис. 3, в). Здесь нулевой разряд отводится для знака, а в осталь­ных 15 разрядах записана мантисса. В памяти этих микро-ЭВМ чис­ла хранятся в дополнительном коде, а при вычислениях ис- пользу­ется модифицированный дополнительный код. Диапазон представ­ления чисел при этом составляет - 1 ≤ X ≤1 – 2^-15.

Кроме рассмотренных выше наиболее распространенных форм представления чисел в специализированных ЭВМ могут использо­ваться также формы, получаемые путем определенного функцио­нального преобразования чисел. Одной из таких форм является ло­гарифмическая, когда числа в ЭВМ представляются их логариф­мами по некоторому основанию, т. е. вместо заданного числа X операции выполняются с другим числом , причем

= log _a X = log _a (k^PM) = P log _a k + log _a M.

Если a = k, то = P + log _k M.

Естественная формапредставлениячисел в этом случаеможет быть найденакак

X = k^P ant log _k M.

Логарифмическое представление дает возможность заменить операции умно-жения и деления чисел операциями сложения и вы­читания их логарифмов.

Одним из вариантов логарифмической формы представления чисел является так называемая знакологарифмическая система счи­сления, в которой любое действи-тельное число X можно представить в виде

X = S (X) L (X),

где S (X)— знаковый разряд; L (X)— логарифмы абсолютной ве­личины X, определяемые как

 

Коэффициент γопределяет диапазон изменения модуля X.

Другим примером формы представления чисел, отличающейся от наиболее распространенных, является дробно-линейная форма (с трансформирующейся запя-той).

В этом случае

При таком представлении как сами числа X ', так и результаты выполнения арифметических операций над ними всегда лежат в интервале (—1, 1). Однако точность вычислений в дробно-линейной форме зависит от | X | и от а. Точность вычислений максимальна, ес­ли | X | и а приближаются к единице. Если же | Х | приближается к нулю или к бесконечности, то точность вычислений убывает.

Известна также форма представления чисел с инверсной запя­той, когда

а значения функций f (X) и g (X) определяются следующим обра­зом:

 

Выполнение операций в этом случае сводится к операциям со значениямифункций f (X) и g (X).

В ВТ известны также отдельные случаи представ­ления чисел в форме не- прерывных (цепных) дробей, бесконечных произведений, компонент сходящихся ря-дов и полиномов.