Лекции.Орг
Лекции.Орг
 

Категории:

Астрономия
Биология
География
Другие языки
Интернет
Информатика
История
Культура
Литература
Логика
Математика
Медицина
Механика
Охрана труда
Педагогика
Политика
Право
Психология
Религия
Риторика
Социология
Спорт
Строительство
Технология
Транспорт
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология
Экономика
Электроника

Эмпирическое распределение. Точечные оценки параметров распределения генеральной совокупности



 

Во многих случаях мы располагаем информацией о виде закона распределения случайной величины (нормальный, бернуллиевский, равномерный и т. п.), но не знаем параметров этого распределения, таких как M[x], D[x]. Для определения этих параметров применяется выборочный метод.

Пусть выборка объема n представлена в виде вариационного ряда. Назовем выборочной средней величину

Величина называется относительной частотой значения признака xi.

Если значения признака, полученные из выборки, не группировать и не представлять в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочной средней нужно пользоваться формулой

.

Естественно считать величину выборочной оценкой параметра Mx.

Выборочная оценка параметра, представляющая собой число, называетсяточечной оценкой.

Выборочную дисперсию можно считать точечной оценкой дисперсии D[x] генеральной совокупности.

Используя выборочный метод можно сделать некоторые выводы о наличии или глубине корреляционной связи случайных величин x иh, даже не зная закона совместного их распределения. Выборку объема n в этом случае представим в виде таблицы, где i-й отобранный объект (i = 1, 2, ... , n)представлен парой чисел xi, yi:

 

x1 x2 ... xn
y1 y2 ... yn
         

Выборочный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле

Здесь

,

Выборочный коэффициент корреляции можно рассматривать как точечную оценку коэффициента корреляции rxh, характеризующего генеральную совокупность.

Выборочные параметры или любые другие зависят от того, какие объекты генеральной совокупности попали в выборку и различаются от выборки к выборке. Поэтому они сами являются случайными величинами.

Пусть выборочный параметр dрассматривается как выборочная оценка параметра D генеральной совокупности и при этом выполняется равенство

M[d] = D..

Такая выборочная оценка называется несмещенной.

Для доказательства несмещённости некоторых точечных оценок будем рассматривать выборку объема n как систему n независимых случайных величин x1,x2,... xn , каждая из которых имеет тот же закон распределения с теми же параметрами, что и случайная величина x, представляющая генеральную совокупность. При таком подходе становятся очевидными равенства:

M[xi] = M[xi] = M[x]; D[xi] = D[xi] = D[x]

для всех i = 1, 2, ... , n.

Теперь можно показать, что выборочная средняя есть несмещенная оценка средней генеральной совокупности или, что то же самое, математического ожидания интересующей нас случайной величины x:

Выведем формулу для дисперсии выборочной средней:

Найдем теперь, чему равно математическое ожидание вы­борочной дисперсии s 2. Сначала преобразуем s 2 следующим образом:

Здесь использовано преобразование:

Теперь, используя полученное выше выражение для величины s 2, найдем ее математическое ожидание.

Так как M[s2] ¹ D[x], то выборочнаядисперсияне является несмещенной оценкойдисперсии генеральной совокупности.

Чтобы получить несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности, нужно умножить выборочную дисперсию на . Тогда получится величина

или

называемая исправленной выборочной дисперсией.

Пусть имеется ряд несмещенных точечных оценок одного и того же параметра генеральной совокупности. Та оценка, которая имеет наименьшую дисперсию, называется эффективной.

Полученная из выборки объема n точечная оценка dn параметра D генеральной совокупности называетсясостоятельной, если она сходится по вероятности к D. Это означает, что для любых положительных чисел e и g найдется такое число neg, что для всех чисел n, удовлетворяющих неравенству n > neg выполняется условие

и являются несмещёнными, состоятельными и эффективными оценками величин D[x] и M[x].

Пример 28.Приведенная ниже таблица представляет собой случайную выборку значений признака X. Объем выборки n=100.

50,2 54,0 41,0 42,0 58,2 59,3 84,8 45,0 76,5 58,3
21,0 55,0 45,0 21,5 46,0 44,0 42,5 49,0 48,7 75,0
15,3 55,0 23,8 46,5 53,0 62,8 78,5 67,0 34,5 49,9
49,7 63,0 30,0 32,0 42,4 22,4 52,0 70,4 57,2 50,0
23,0 47,8 47,4 50,8 78,3 27,0 56,6 51,3 58,6 28,4
51,7 50,0 48,8 49,4 57,5 47,4 33,5 27,0 39,7 57,5
18,4 35,6 28,4 37,6 49,5 26,7 54,0 68,6 29,3 62,7
43,8 44,0 69,1 46,3 76,7 37,1 69,2 39,3 30,0 43,0
85,0 63,0 30,0 43,8 64,8 22,0 38,8 42,3 64,8 41,0
30,0 10,0 63,0 48,8 71,2 54,4 47,8 31,2 46,1 17,8

Найти закон распределения, точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения признака X.

Решение. Значения Х в таблице почти не повторяются, поэтому построим интервальное распределение Х. Определим длину каждого частичного интервала (In), предварительно найдя по таблице размах выборочных значений (R):

,

,

где n=100 – объем выборки.

Нижняя граница первого интервала принимается равной а его верхнюю границу второй интервал будет (15; 25), третий (25; 35) и так далее. Если повторяющееся выборочное значение совпадает с границей двух соседних интервалов, то договоримся относить его к левому интервалу. Так число 55 дважды будет отнесено к интервалу (45; 55) и ни разу – к интервалу (55; 65).

В итоге этих действий получаем следующее интервальное распределение исходной выборки, куда внесены не только частоты , но и относительные частоты выборочных значений признака, попавшего в i-й частичный интервал:

 

xi1xi 5-15 15-25 25-35 35-45 45-55 55-65 65-75 75-85
ni
0,01 0,09 0,14 0,19 0,29 0,15 0,07 0,06

 

Для проверки правильного заполнения таблицы нужно убедиться, что сумма элементов второй строки равна объему выборки (в нашем примере n=100), а сумма элементов третьей строки равна единице.

Распределение непрерывной случайной величины характеризуется функцией плотности вероятностей. В статистике ее оценкой является гистограмма относительных частот. Это ступенчатая фигура, для построения которой по горизонтальной оси откладываются частичные интервалы, по вертикальной – плотности относительных частот В нашем примере

 

0,001 0,009 0,014 0,019 0,029 0,015 0,007 0,006

 

От интервального распределения выборки можно перейти к точечному (дискретному) распределению, взяв за новые выборочные значения признака середины частичных интервалов. В рассматриваемом примере такое распределение будет иметь вид следующей таблицы:

 

xi
ni
0,01 0,09 0,14 0,19 0,29 0,15 0,07 0,06

Для наглядности можно построить полигон относительных частот. Это ломаная линия, вершины которой находятся в точках (xi, ).

Для точечного распределения выборки можно построить эмпирическую функцию распределения F*(x). Она является статистической оценкой функции распределения вероятностей признака Х (интегрального закона распределения) и строится по формуле , где n – объем выборки, а nх – сумма частот выборочных значений признака Х, меньших х. Ясно, что эмпирическую функцию распределения характеризует процесс накопления относительных частот. В нашем примере

Аналогом эмпирической функции распределения является кумулята относительных частот, представляющую собой для точечного (дискретного)выборочного распределения ломаную линию с вершинами в точках , где n – объем выборки, а nх – сумма частот выборочных значений признака Х, меньших хi.

Точечные статистические оценкигенеральных параметров распределения признака Х вычислим по формулам

где xi – выборочное значение признака Х, ni – частоты этих значений, n – объем выборки.

Получим

 





Дата добавления: 2015-02-12; просмотров: 404 | Нарушение авторских прав


Похожая информация:

  1. C-коэффициент неравномерности распределения воздуха
  2. I. Модели оценки финансовых активов
  3. I.2. Статистический ряд распределения. Гистограмма
  4. II группа параметров. Характеризующие человека как члена группы
  5. M - отдаленные метастазы. Мх - недостаточно данных для оценки наличия отдаленных метастазов
  6. Time 0:00:00. — наука о способах измерения и квантификации показателей качества; позволяет давать количественные оценки качественным характеристикам товара
  7. V. КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ВКР
  8. Автоматизированные устройства контроля параметров геометрической формы деталей
  9. Анализ финансовых решений в рамках оценки проектов
  10. Аналитическая шкала оценки проведения устной беседы на тему
  11. Аналитическая шкала оценки проведения устной беседы на тему. «Правила прикладывания к груди» Единая шкала, содержание, 2 балла Обучаемый полностью справился с заданием: изложил информацию по всем
  12. Б15- 3. Эффективность управления организацией: принципы оценки, критерии и показатели эффективности управления в сельскохозяйственных организациях


© 2015-2017 lektsii.org - Контакты

Ген: 0.093 с.