Зависимость двух случайных величин. Коэффициент корреляции

Характеристикой зависимости между случайными вели­чинами x и h служит математическое ожидание произведения отклонений x и h от их центров распределений (матема­тических ожиданий случайнйх величин), которое называется коэффициентом ковариации или просто ковариацией.

cov(x; h) = M ((x– M x)(h– M h)).

Пусть x = { x ₁, x ₂, x ₃,¼, x_n }, h = { y ₁, y ₂, y ₃,¼, y_n }. Тогда

cov(x;h)= (4)

Эту формулу можно интерпретировать так. Если при больших значениях x более вероятны большие значения h, а при малых значениях x более вероятны малые значения h, то в правой части формулы (4) положительные слагаемые доми­нируют, и ковариация принимает положительные значения.

Если же более вероятны произведения (x_i – M x)(y_j – M h), состоящие из сомножителей разного знака, то есть исходы случайного эксперимента, приводящие к большим значениям x в основном приводят к малым значениям h и наоборот, то ковариация принимает большие по модулю отрицательные значения.

В первом случае принято говорить о прямой связи: с рос­том x случайная величина h имеет тенденцию к возрастанию.

Во втором случае говорят об обратной связи: с ростом x случайная величина h имеет тенденцию к уменьшению или падению.

Ковариацию удобно представлять в виде:

cov(x; h)= M (xh)– M x M h.

Ковариация двух случайных величин равна математиче­скому ожиданию их произведения минус произведение мате­матических ожиданий.

Для независимых случайных величин x и h cov(x;h)=0.

Этому свойству можно придать более практическую формулировку: еслиcov(x;h)¹0, то случайные величины x и h зависимы.

Итак, ненулевая ковариация свидетельствует о зависимо­сти случайных величин.

Обратное утверждение не верно. Можно привести при­меры как независимых, так и зависимых случайных величин, ковариация между которыми равна нулю.

Величина cov(x;h) зависит от единиц измерения, в которых выражаются x и h. Поэтому cov(x;h) неудобно принимать за показатель связи. Чтобы иметь дело с безразмерным показателем, ковариацию делят на произведение среднеквадратических отклонений (СКО) x и h:

Полученное число r_xh называется коэффициентом корреляции случайных величин x и h.

Для независимых x и h r_xh=0 (так как в этом случае cov(x;h)=0).

Обратного заключения сделать нельзя. Случайные величины могут быть связаны даже функциональной зависимостью, но коэффициент их корреляции будет равен нулю.

 

Свойства коэффициента корреляции:

1) –1£r_xh£1;

2) Если r_xh=1, то h= k x+ b, где k и b – константы, k >0.

3) Если r_xh=–1, то h= k x+ b,где k <0.

4) Если h= k x+ b, (k¹ 0) или x= k ₁h+ b ₁, то r_xh=1 при k >0 или r_xh=–1 при k <0.

Коэффициент корреляции r_xh достигает своих предельных значений –1 и 1 в том и только в том случае, если совместное распределение x и h все концентрируется на некоторой прямой в плоскости x; h. Если êr_xhê<1, то линейной зависимости между x и h нет. Все же по мере приближения êr_xhê к единице величину êr_xhê можно считать мерой близости к полной линейной зависимости между x и h.

Как правило, говоря о корреляционной зависимости, име­ют в виду линейную корреляционную зависимость. Если имеется в виду нелинейная корреляционная зависимость, то это особо оговаривают

Можно говорить о совместном распределении двух непрерывных случайных величин.

В большинстве случаев возможен переход от непрерывных случайных величин к совместному распределению двух дискретных случайных величин следующим образом.

Нужно разбить отрезок [ a; b ] изменения случайной величи­ны x на равные отрезки [ c ₀= a; c ₁]; [ c ₁; c ₂]; [ c ₂; c ₃], ¼, [ c_{n –1}; c_n = b ]. За значение случайной величины x принять середину каждого отрезка.

Так же надо поступить со случайной величиной h, разбив ее область значений [ e; f ] на равные отрезки [ g ₀= e; g ₁]; [ g ₁; g ₂], …, [ g_{k –1}; g_k = f ], и приняв за возможные значения h середины отрезков [ g_{k –1}; g_k ].

Таким образом мы получили дискретные случайные величины x*={ x ₁; x ₂; … x_n } и h*={ y ₁; y ₂; … y_k }, причем каждой паре (x_i; y_j) ставится в соответствие вероятность

P_i^j = P ((xÎ[ c_{i– 1}; c_i ])∩(hÎ[ g_{j– 1}; g_j ])).