Свойства дисперсии

1. Если k – число, то D [ k x] = k ² D [x], т.е. константа выносится из-под знака дисперсии с квадратом.

Докажем это.

D [ k x] = M [(k x – M [ k x])²] = M [(k x – k M [x])²] = M [ k ² (x – m _x)²] =

= k ² M [x – m _x]² = k ² D [x].

2. Сдвиг на константу не меняет дисперсии:

D [ k+ x]= D [x].

Свойства (1) и (2) объединяются в одно:

D [ c+k x]= k ² D [x].

3. Для попарно независимых случайных величин x₁, x₂,¼, x _n справедливо равенство

Пример 16. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Решение. Дисперсию можно вычислить исходя из ее
определения, однако мы воспользуемся формулой D [X]= M [ X ²]–(M [ X ])², которая быстрее ведет к цели. Найдем математическое ожидание Х:

М [ Х ]=–5·0,4+2·0,3+3·0,1+4·0,2=–0,3.

Напишем закон распределения Х ²:

Найдем математическое ожидание Х ²:

М [ Х ²]=25·0,4+4·0,3+9·0,1+16·0,2=15,3.

Вычислим искомую дисперсию:

.

и, наконец, искомое среднее квадратическое отклонение:

s _X = .