Формула Байеса

Пусть H ₁, H ₂,..., H_n – полная группа событий и А ÌW – некоторое событие. Тогда по формуле для условной вероятности

(3)

Здесь P (H_k / A) – условная вероятность события (гипотезы) H_k или вероятность того, что H_k реализуется при условии, что событие А произошло.

По теореме умножения вероятностей числитель формулы (3) можно представить в виде

P (H_k ∩ A)= P (A ∩ H_k)= P (A / H_k) P (H_k).

Для представления знаменателя формулы (3) можно использовать формулу полной вероятности

.

Теперь из (3) можно получить формулу, называемую формулой Байеса:

.

По формуле Байеса исчисляется вероятность реализации гипотезы H_k при условии, что событие А произошло. Формулу Байеса еще называют формулой вероятности гипотез.

Пример 15. Из трех урн с шарами вынимается наугад 1 шар, который оказался белым. Найти послеопытную вероят­ность того, что шар вынут из первой урны, если в первой урне 3 белых шара и 1 черный, во второй – 2 белых и 3 черный, в третьей – 3 белых.

Решение. Обозначим за H ₁ гипотезу – «шар выбран из 1-й урны», соответственно H ₂ – «шар выбран из 2-й урны» и H ₃ – «шар выбран из 3-й урны». Гипотезы равноверояны и равны

Определим вероятность гипотезы H ₁ при условии, что событие А= «вынут белый шар» уже произошло, т.е.