Экстремумы функции одной переменной. Достаточное условие экстремума

Дополним, что точки, где производная равна нулю, называются стационарными; а точки, где производная не существует называются критическими.

Итак, если точка х 0 есть стационарная точка для функции f(x) или если в этой точке не существует для неё двусторонней конечной производной, то точка х 0 представляется, так сказать лишь “подозрительной” по экстремуму и подлежит дальнейшему испытанию.

Это испытание состоит а проверке достаточных условий для существования экстремума, которые мы сейчас утановим.

Предположим, что в некоторой окрестности (х-,х+) точки х 0 (по крайней мере, для х=х 0) существует конечная производная и как слева от х 0, так и справа от х 0 (в отдельности) сохраняет определенный знак. Тогда возможны следующие три случая:

1) f’(x)>0 при х<х 0 и f’(x)<0 при х>х 0, т. е. производная f’(x) при переходе через точку х 0 меняет знак плюс на минус. В этом случае, в промежутке [х 0 -,х 0 ] функция f(x) возрастает, a в промежутке [х 0,х 0 + ] убывает, так что значение f(x) будет наибольшим в промежутке [х 0 -,х 0 + ], т. е. в точке х 0 функция имеет собственный максимум.

2) f’(x)<0 при х<х 0 и f’(x)>0 при х>х 0, т. е. производная f’(x) при переходе через точку х 0 меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х 0 функция имеет собственный минимум.

3) f’(x)>0 как при х<х 0 так и при х>х 0 либо же f’(x) и слева и справа от х 0, т. е. при переходе через х 0, не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х 0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<f(x 0), а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x 0) так что в точке х 0 никакого экстремума нет.

Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х 0: подставляя в производную f’(x) сначала х<х 0, а затем х>х 0, устанавливаем знак производной вблизи от точки х 0 слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус, то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.

Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а,b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:

a<х 1 <х 2 <… <х k <х k+1 <… <х n <b (3.1)

именно,тогда прежде всего, в любом промежутке (а,х 1), (х 1,х 2), …,(х k,х k+1), …,(х n,b) существует конечная производная f’(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f’(x) сохраняет постоянный знак.Действинельно, если бы f’(x) меняла знак, например, в промежутке (х k,х k+1), то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между х k и х k+1, что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3.1).

Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f’(x) во всем промежутке (х k,х k+1) определяется, если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.