Ряд Фурье для гармонических сигналов

Ряд вида называется рядом Фурье данного сигнала. Введем основную частоту ω1=2π/T последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения запишем ряд Фурье для периодического сигнала с коэф-тами

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами ω_n = nω₁ (n = 1, 2, 3,...), кратными основной частоте последовательности. Каждую гармонику можно описать ее амплитудой An и начальной фазой φ_n. Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде: a_n=A_ncosφ_n, b_n=A_nsinφ_n так, что , tgφ_n=b_n/a_n.

Другая, эквивалентная форма ряда Фурье:

Спектральная диаграмма периодического сигнала - графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 3.2). Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис.3. 2. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а — амплитудная; б — фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала. Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом Т и ортонормированы на отрезке времени [—Т/2, Т/2], так как