Теория типов

Уже говорилось, что Рассел принимает функциональную трактовку высказываний, предложенную Фреге. Однако его не все в ней удовлетворяет. В частности, Рассел не принимает фрегеанскую трактовку функции как неопределяемого понятия. Напомним, что с точки зрения Фреге, выделение в высказывании функции и аргумента зависит от контекста и то, что рассматривалось в качестве функции, может становиться аргументом, и наоборот. Отталкиваясь от такого понимания, Б.Рассел сформулировал свой знаменитый парадокс. Если функция и аргумент находятся на одном и том же уровне, то, сконструировав высказывание, в котором одно и то же выражение может рассматриваться одновременно как функция и как аргумент этой функции, можно прийти к противоречию. В письме к Фреге Рассел следующим образом высказывает свои сомнения: «Вы утверждаете, что функция может быть неопределяемым элементом. Я тоже так считал, но теперь этот взгляд кажется мне сомнительным из-за следующего противоречия: Пусть w будет предикатом ‘быть предикатом, не приложимым к самому себе’. Приложим ли w к самому себе? Из любого ответа вытекает противоречие. Стало быть, мы должны заключить, что w не является предикатом. Также не существует класса (как целого) тех классов, которые, как целое, являются членами самих себя. Отсюда я заключаю, что при определенных обстоятельствах определяемое множество не образует целого»[77].

Проясним данный парадокс на примере. Согласно каждой высказывательной функции можно образовать класс предметов. Например, функции ‘чайная ложка (х)’ соответствует класс индивидов, удовлетворяющих данную функцию (т.е. при заполнении аргументного места, делающих соответствующее высказывание истинным) и являющихся чайными ложками. Принцип интуитивной абстракции позволяет образовывать классы с любым набором индивидов. Причем при неограниченном применении этого принципа в качестве индивидов могут выступать и сами классы (т.е. они сами могут рассматриваться как заполняющие аргументные места соответствующих функций). Например, функции ‘класс предметов (х)’ будет соответствовать класс всех классов любых предметов. При таком подходе некоторые классы могут содержать только индивиды, а некоторые — и индивиды, и классы, рассматриваемые в качестве индивидов. Среди последних особый интерес представляют классы, содержащие себя в качестве собственных элементов. Например, класс чайных ложек сам чайной ложкой не является, он состоит только из индивидов, а класс всех предметов, не являющихся чайными ложками, сам не будет являться чайной ложкой и, следовательно, будет являться членом самого себя. Образование классов последнего типа зависит от возможности образования таких функций, которые могут быть собственными аргументами. Рассмотрим еще один пример. Возьмем класс последнего типа, а именно класс всех тех классов, которые не являются элементами самих себя (в функциональном выражении ‘класс, не являющийся элементом самого себя (х)’). Если мы зададимся теперь вопросом о том, можно ли рассматривать сам этот класс как удовлетворяющий соответствующую себе функцию, получится противоречие. В самом деле, если он ее удовлетворяет, то он не должен содержаться в себе самом, а если он ее не удовлетворяет, то он должен содержаться в себе самом.

Противоречие демонстрирует неприемлемость такого понимания функции и аргумента, которое имеет место у Фреге, но это еще не означает, что неверна функциональная трактовка логической структуры высказывания. Для решения парадокса Рассел разрабатывает так называемую теорию типов, которая по существу сводится к ограничениям, накладываемым на образование классов, а стало быть, и соответствующих высказывательных (пропозициональных) функций. Так, например, он пишет: «Общность классов в мире не может быть классом в том же самом смысле, в котором последние являются классами. Так мы должны различать иерархию классов. Мы будем начинать с классов, которые всецело составлены из индивидов, это будет первым типом классов. Затем мы перейдем к классам, членами которых являются классы первого типа: это будет второй тип. Затем мы перейдем к классам, членами которых являются классы второго типа; это будет третий тип и т.д. Для класса одного типа никогда невозможно быть или не быть идентичным с классом другого типа»[78]. На образование классов необходимо накладывать ограничения, запретив образовывать классы, которые могли бы выступать в качестве своих собственных элементов. Классы должны образовывать строгую иерархию, где первый уровень представляли бы собой классы, содержащие только индивиды, второй уровень – классы, содержащие классы индивидов, третий уровень – классы, содержащие классы классов индивидов, и т.д. Разные уровни требуют различных средств выражения; то, что можно сказать об индивидах, нельзя сказать об их классах, а то, что можно сказать о классах индивидов, нельзя сказать о классах классов индивидов и т.д. В общем, это и составляет сущность теории типов.

В применении к высказывательным функциям это означает, что ни одна функция не может быть применена к самой себе; то, что рассматривается в качестве аргумента, никогда не должно становиться функцией, и наоборот, на одном и том же уровне. Последнее требование закрепляется Расселом в теории удовлетворительного символизма. Зафиксировать тип – значит зафиксировать соответствующий тип символа, указывающий на соответствующее значение. С точки зрения Рассела, к парадоксам приводит смешение различных типов, которого необходимо избегать. При таком подходе, очевидно, отпадает надобность в оценке контекста целостного высказывания. Значение символа должно заранее определяться словарем, который сконструирован иерархическим образом согласно типам, а правила образования выражений накладывают ограничения на использование словаря.

Теория типов становится для Рассела универсальным методом решения парадоксов, не только обнаруженных им самим, но и известных с давних времен. Возьмем, например, парадокс лжеца. Если некто высказывает утверждение “Я сейчас лгу”, то с традиционной точки зрения, при попытке определить истинностное значение этого утверждения мы всегда придем к противоречию. Действительно, поскольку он лжет, то ложным должно быть и высказанное им утверждение; но, учитывая его содержание, мы тогда должны сказать, что оно истинно. Если же его утверждение истинно, то, согласно утверждаемому содержанию, оно говорит о своей собственной ложности и, стало быть, является ложным. В любом случае возникает противоречие. Но, используя теорию типов, Рассел решает этот парадокс, разводя по разным уровням высказывания, о которых говорит это утверждение, и само это утверждение[79]. С точки зрения теории типов, человек, утверждающий, что он лжет, имеет в виду ложность по крайней мере одного высказывания из класса высказываний, охватываемых его утверждением. Но само его утверждение не должно включаться в этот класс, поскольку оно относится к более высокому типу. Поэтому истинностная оценка должна релятивизироваться относительно типа высказанных утверждений. Любое утверждение о высказываниях n -го типа само будет относиться к n +1 типу и не должно включаться в класс оцениваемых высказываний.

Символическая система Фреге не удовлетворяет требованиям теории типов, поэтому в ней и можно сформулировать парадоксальные утверждения.