Колебания. На первый взгляд незаметно, чтобы вокруг нас ежесекундно совершаются колебательные движения

На первый взгляд незаметно, чтобы вокруг нас ежесекундно совершаются колебательные движения. Однако колебательное движение совершают атомы и ядра, планеты и звезды, они происходят в тканях живых и растительных организмов, в электромагнитном и звуковом излучении. Причиной проведения волн возбуждения по нервным волокнам является колебания значений трансмембранного потенциала в нервных клетках. Оказывается, весь окружающий нас мир находится в постоянном колебательном движении. Звук в радио, изображение в телевизоре, передача сигналов на расстоянии – это сумма большого количества колебательных движений. Колебания бывают, например, механические, электрические, электромагнитные, акустические. Механические колебания в среде приводят к возникновению механических волн, электромагнитные колебания вызывают появление электромагнитных волн.

Рис. 1.14. Виды механических колебаний

Движение, при котором состояния движущегося тела с течением времени повторяются, причем тело проходит через положение своего устойчивого равновесия поочередно в противоположных направлениях, называют механическим колебанием. Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными, а также существуют автоколебания (рис.1.14). Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того как система была выведена из состояния равновесия, если при этом нет воздействия извне. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Коле-

 

бания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными. Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания.

Характеристиками колебательного движения являются период T, частота f, смещение x, амплитуда A (рис.1.15).

Периодом T называют время совершения одного полногоколебания тела. Частотой колебаний f называютчисло

полных колебаний в одну секунду. Ее измеряют в герцах (1 Гц = 1/с), 1 герц равен одному полному колебанию в секунду.

Частота обратно пропорциональна периоду колебаний:

f = 1. (1.5.1)

T

Циклической частотой колебаний (измеряется в единицах рад/c)называют величину

w = 2 p f

= 2 p. (1.5.2)

T

Смещением (x = x (t)) называется расстояние от положения тела в данный момент времени до положения равновесия. Амплитудой A называют максимальное смещение или наибольшее отклонение тела от положения равновесия. Рис. 1.15. Характеристики колебательного движения

Гармонические колебания. Периодическое колебание тела, при котором его смещение относительно положения равновесия со временем описывается по закону синуса или косинуса, называют гармоническим. Колебательный процесс может происходить под действием как внешних, так и внутренних сил. Колебания под действием внутренних сил коле-

бательной системы называют свободными. В этом случае исходная потенциальная энергия колебательного движения превращается в кинетическую энергию и обратно. Частота ω0, с которой совершаются такие колебания, называют собственной.

Колебания груза на пружине. Уравнение гармонического колебания удобно рассмотреть на примере колебания груза на пружине (рис.1.16), поскольку эта простейшая модель может быть использования и для описания колебаний диполя, гармонического осциллятора и в других случаях. Ускорение тела в дифференциальной форме согласно (1.1.4) равно

d 2 x

a =

dt 2

= ˙ x ˙. Отсюда второй закон Ньютона можно записать

в виде

m ˙ x ˙ = - kx, (1.5.3)

где m – масса колеблющегося тела,

Fx = - kx

– сила упруго-

сти пружины, описываемая законом Гука.

Из формулы (1.5.3) получаем уравнение гармонических колебаний груза на пружине:

˙ x ˙ +

kx = 0. (1.5.4)

m

 

Рис. 1.16. Колебания груза на пружине

В теории дифференциальных уравнений решение уравнения (1.5.4) ищется в виде

x = A cos(w 0 t + f), (1.5.5)

где величина A представляет собой амплитуду колебаний, величина f называется начальной фазой. Начальная фаза

показывает, в какой точке относительно начала координат находился груз в начальный момент времени.

С учетом того, что вторая производная по времени от гармонической функции (1.5.5) имеет вид

..

x = - w 2 x, (1.5.6)

уравнение (1.5.4) можно записать в виде

- w 2 х + k

m

х = 0.

Отсюда собственная частота колебаний груза на пружине

k

w 0=

. (1.5.7)

m

0

Она обратно пропорциональна корню массы колеблющегося тела m ~ 1 и прямо пропорциональна корню квадратному

√m

изкоэффициентаупругостипружиныm0 ~ √k.Чем тяжелее тело и жестче пружина, тем меньше частота колеблющегося тела.

Полная механическая энергия груза на пружине равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

mv 2

kx 2

kA 2

E = Ех

+ u (x)= + =, (1.5.8)

2 2 2

где v – скорость, которую имеет груз массой m на расстоянии x от положения равновесия (максимальное отклонение груза от положения равновесия А).

Затухающие гармонические колебания. В реальных условиях на колеблющееся тело действует сила трения. Например, на качели действует сила сопротивления воздуха и трение в точках прикрепления качелей к оси. Если качели отвести высоко вверх, отпустить и в дальнейшем не подталкивать, то со временем частота и амплитуда качаний уменьшатся, и качели остановятся. Во всех живых организмах, начиная с клетки, происходят колебания. Поддержание амплитуды этих колебаний происходит за счет поступления энергии из внешних источников, например, в результате переработки пищи.

Полностью избежать трения невозможно. Поэтому амплитуда колебаний любого качающегося тела постепенно уменьшается до тех пор, пока они вовсе не прекратятся.

Затухающие гармонические колебания – это гармонические колебания с уменьшающейся амплитудой и постепенно увеличивающимся периодом (рис.1.17).

Сила вязкого трения о воздух, вызывающая затухание, как отмечалось ранее, пропорциональна скорости (при малых скоростях):

F зат= – k вт v, (1.5.9)

где k вт – постоянная, имеющая размерность [ k вт] = Н · с/м.

В случае, когда брусок испытывает трение о воздух, а трением скольжения можно пренебречь, уравнение колебания груза на пружине (1.5.3) имеет вид

ma = –kx – k вт v (1.5.10)

или в форме дифференциального уравнения

m ˙ x ˙ + k вт x ˙ + kx = 0. (1.5.11) Решение этого уравнения, как показано в теории дифференциальных уравнений, следует искать в следующем виде:

- a t

x = Ae

cos w 0 t, (1.5.12)

где α – множитель, имеющий размерность с–1, описывает скорость уменьшения амплитуды.

Рис.1.17. Пример затухающего гармонического колебания

Из формулы (1.5.12) видно: чем сильнее трение, тем быстрее спадает амплитуда колебаний. Параметр скорости уменьшения амплитуды колебаний составляет

a = k вт

2 m

. (1.5.13)

Частота затухающих колебаний по сравнению с частотой собственных колебаний грузика на пружине с ростом силы вязкого трения уменьшается

 

k k 2

w 0=

- вт. (1.5.14)

m 4 m 2

Вынужденные колебания. Во многих случаях система не просто колеблется сама по себе, а испытывает еще и действие внешней силы, которая также меняется с определенной частотой. На примере качелей, хорошо видно, что если их подталкивать в такт, то амплитуда колебаний будет расти. Можно качели заставить колебаться с необходимой нам частотой, если их двигать рукой, не отпуская. В этом случае качели будут колебаться с частотой вынуждающей силы. Если частота колебаний будет расти по сравнению с собственной частотой колебания качелей, то амплитуда и частота будут стремиться к нулю. Например, если стучать по качелям с большой частотой молотком, пытаясь их раскачать, то интуитивно ясно, что они просто остановятся. Становится понятно, что частота и амплитуда колебаний существенно зависит от частоты внешнего воздействия.

Предполагая, что внешняя сила изменяется по гармоническому закону и может быть представлена в виде

F вын= F 0cos ωt, (1.5.15)

учтем ее в уравнении (1.5.10) одновременно с учетом силы трения. Тогда оно приобретает вид

m ˙ x ˙ + k вт x ˙ + kx = F 0 cos wt. (1.5.16)

Решение уравнения (1.5.16) записывается в общем виде:

x = A 0sin(wt + j 0), (1.5.17)

где амплитуда вынужденных колебаний приобретает вид

A 0=

m

F 0.

w

2

0 вт

(w 2 - w 2)2+ k 2

m 2

(1.5.18)

Резонанс. Хорошо известен пример, когда частота вынуждающей силы (строй солдат, идущих в ногу по мосту) и собственных колебаний моста совпали, – и это привело к его разрушению. Если частота порывов ветра совпадает с частотой собственных колебаний мачты, башни или крыши строения, то это может привести к их разрушениям. Так, напри-

мер, под действием силы ветра колеблются вершины Останкинской телебашни и главного здания МГУ. Полностью от этих колебаний избавиться невозможно. При строительстве и подборе материалов можно уменьшить их амплитуду.

В современной технике эти факторы тщательно учитываются. Толчки автомобиля о неровности дороги могут совпасть с частотой собственных колебаний какого-либо его узла, привести к поломке. Еще пример: пение может заставить дребезжать фужеры и оконные стекла, раскачиваться балкон. Из выражения амплитуды (1.5.18) видно: когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний системы, амплитуда резко возрастает. Ее величина определяется коэффициентом затухания колебаний или величиной коэффициента трения. Это явление называется резонансом. Собственная частота колебаний системы ω 0называется резонансной частотой. На рис.1.18 представлена зависимость амплитуды колебаний от частоты внешней си-

лы, хорошо виден пик при равенстве частот ω 0= ω.

Особую роль играет резонанс в радиотехнике. Настройка приемника означает приближение его собственной частоты к частоте передающей радиостанции. Когда мы настраиваем приемник на нужную радиостанцию, то замечаем, что при повороте ручки настройки слышимость сначала возрастает, а затем снова уменьшается.

 

Рис. 1.18. Резонанс

 

 

 

При вынужденных незатухающих колебаниях

 

потери

энергии на трение компенсируются за счет внешнего источника. Существуют системы, которые могут сами регулировать поступление энергии от постоянного источника, они на-

зываются

автоколебательными, а процесс незатухающих

колебаний в таких системах – автоколебаниями. К ним относятся, например, живые организмы и растения. В них поступление энергии извне регулируется на уровне клеток

Сложные колебания. Большинство реальных колебаний

в окружающем нас

мире не

являются

гармоническими.

Сложные

колебания

– колебания, в состав которых входят

два или более неравных по частоте гармонических

колеба-

ния. Такое сложное колебание раскладывают на ряд простых

гармонических колебаний с частотами,

кратными

частоте

сложного колебания, притом для каждого конкретного вида колебания разложение единственно.

Законы

разложения формулируются

теоремой

Фурье:

любое сложное колебание может быть представлено в виде суммы гармонических колебаний, частоты которых кратны частоте этого колебания ω = 2 π/T.

Теорема Фурье позволяет разложить любую функцию с

периодом

, заданную в промежутке от

до в ряд гар-

монических функций с определенными амплитудами и фаза-

ми, частоты которых сумма дает функцию

кратны частоте этого колебания, а их

:

 

где

,,…,

, – целое число.

 

Рис.1.19. Представление сложного колебания в виде спектра

 

 

 

Разложение произвольной

 

периодической функции на

сумму гармонических колебаний называется гармоническим анализом. Результат гармонического анализа часто представляют в виде так называемого спектра сложного колебания.

Для этого

на горизонтальной оси откладывают частоты со-

ставляющих гармонических колебаний,

а вертикальными

черточками обозначают соответствующие им амплитуды

(рис.1.20).

Волны

Виды волн. Камень, брошенный в воду, создает вокруг себя концентрические круги, состоящие из гребней и впадин, которые распространяются с некоторой скоростью от точки падения камня в воду. Волновым образом распространяется

свет, звук,

радиоволны. Волной считается и частица6. На-

пример, пучок электронов, проходя через щель, создает интерференционную или дифракционную картину.

Волной называют процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Источником любой волны является колебание, которое распространяется от источника

в виде волны. Если

источник

движется

синусоидально, со-

вершая гармонические колебания в упругой среде, то волна будет иметь форму синусоиды.

Характеристики волн: период Т, частота f, амплитуда а и смещение х определены в начале раздела 1.5. Длина и скорость волны определяются соответственно соотношениями

l = vT,

v = l f.

(1.6.1)

(1.6.2)

Если частицы колеблются в том же направлении, в котором распространяется сама волна, волна называется продоль-

ной. Продольная волна состоит из чередующихся

деформа-

ций растяжения и сжатия среды (рис.1.20, а). Продольные волны могут распространяться в твердых телах, жидкостях и газах: во всех этих средах возникает упругая реакция на сжатие, в результате которой появятся бегущие друг за другом

лно

ой дуализм

будет опи

ан позже.

6 Подробно корпускулярно-во в с

сжатия и разрежения среды. Примером продольной волны является звуковая волна.

Рис.1.20. Продольные и поперечные механические волны

Волны могут распространяться на большие расстояния, но частицы среды совершают колебания лишь в ограниченной области пространства. В случае, когда эти частицы колеблются вверх и вниз, т.е. в направлении, перпендикулярном (или поперечном) движению самой волны, волна называется поперечной (рис.1.20, б). Поперечными являются электромагнитные волны.

В продольной волне длина волны равна расстоянию между соседними сжатиями или разрежениями (рис.1.20, а). В поперечной волне – расстоянию между соседними горбами или впадинами (рис.1.20, б).

Уравнение волны. Любая волна, движущаяся вдоль оси x в открытом пространстве (такие волны называют бегущими), будет описываться в простейшем случае гармонической функцией. Если волна движется от начала вдоль положительного направления оси координат, то для ее описания справедливо, например, выражение

a = A sin 2 p (x - vt). (1.6.3)

0 l

Если волна движется к началу координат, –

a = A sin 2 p (x + vt), (1.6.4)

0 l

где a – смещение волны в точке x, v – скорость волны.

Энергетические характеристики волны. Волновое движение сопровождается переносом энергии от источника колебаний в различные точки среды. Эта энергия складывается из кинетической энергии колеблющихся частиц и потенциальной энергии деформированных участков среды.

Мгновенное значение полной энергии для разных частиц:

x

E = Eкин+ Eпот= mm2a2= mm2A2sin2 m (t —).

r

Среднее значение энергии за период:

 

Eср=

mm2A2

=

q∆Vm2A2

=

qm2A2

∆V = s∆V,

где

Е rw 2 A 2

e = ср = – количество энергии, заключенной

V 2

в единице объема среды, или объемная плотность энергии.

Энергия, переносимая волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии через эту поверхность. Поток энергии Ф (1 Вт = 1 Дж/с) – количество энергии, переносимой волной за единицу времени через некоторую произвольную поверхность, перпендикулярную направлению распространения волны

dE

Ф =. (1.6.5)

dt

Плотностью потока энергии, или интенсивностью называется количество энергии, переносимое волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Плотность потока энергии или интенсивность I (1 Вт/м2= 1 Дж/с · м2) – средняя

энергия, переносимая волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны

I= dEср

. (1.6.6)

dtdS

Это выражение можно переписать в виде

I = Ä E ср = Ä t Ä S

Ä E ср v

 

Ä t Ä Sv

= e ср

v. (1.6.7)

В случае гармонических колебаний волны справедливо выражение

sср=

qm2Æ2

2, (1.6.8)

где q – плотность среды, A – амплитуда волны, m – циклическая частота колебаний частиц среды.