Основные законы гидростатики

В отличие от твердых тел в жидкостях и газах связь между молекулами слабее. Они обладают свойством текучести – не сохраняют свою форму, а приобретают форму сосуда, водоема и т.д. Эта особенность текучих веществ описывается законами гидростатики и гидродинамики. Законы гидроста-

тики (Паскаля2 и Архимеда) описывают передаваемое давле-

ние в жидкостях и газах.

Закон Паскаля: внешнее давление, приложенное к жидкости или газу, находящемуся в ограниченном объеме, передается во все стороны одинаково. В качестве примера действия закона Паскаля приведем опыт с шаром Паскаля. В нем сделано множество отверстий, которые соединены с цилиндрическим сосудом (рис.1.9). Если налить в сосуд воду и двинуть поршень, вода брызнет из всех отверстий. Это как раз и означает, что вода передает внешнее давление по всем направлениям. То же наблюдается и для газа: если сосуд наполнить дымом, то при движении поршня струйки дыма пойдут из всех отверстий сразу. Стало быть, газ также передает давление по всем направлениям.

2 Открытие закона приписывается французскому философу и ученому-естествоиспытателю Блезу Паскалю (1623–1662).

Рис.1.9. Иллюстрация к закону Паскаля

Закон Паскаля широко применяется на практике, например, в работе гидравлического пресса, тормозных систем автомобиля.

Закон Архимеда: на погруженное в жидкость или газ тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости или газа, вытесненного телом, направленная против силы тяжести. Мы знаем, что дерево в воде не тонет. Следовательно, сила тяжести уравновешивается какой-то другой силой, действующей на кусок дерева со стороны воды. Эта сила называется выталкивающей или силой Архимеда. Она действует на всякое тело, погруженное в жидкость или газ. Мы сами, находясь в морской воде, не тонем, а в пресной воде чувствуем, что становимся тяжелее.

Рис.1.10. Выталкивающая сила Архимеда, действующая на тело, погруженное в жидкость или газ

Природа выталкивающей силы заключается в следующем. Тело площадью основания S, высотой h помещено в жидкость плотностью ρ. Верхнее основание находится на глубине h1, нижнее – на глубине h2 = h1+ h (рис.1.10). На соответственно верхнее и нижнее основания тела столб жидкости высотой h 1 и h 2 = h + h 1 оказывает разное давление:

P 1= ρgh 1, P 2= ρgh 2. (1.4.6)

Так как на основания тела действуют разные силы:

F1 = P1S, F2 = P2S, (1.4.7)

Возникает результирующая сила, действующая тело, которую называют выталкивающей силой или силой Архимеда:

FА= F2— F1= qgh2S — qgh1S = qgS(h2— h1) = qgSh,

или

FА= qgV.

Если плотность тела меньше плотности жидкости: ρ т ≤ ρ, тело плавает, если больше: ρ т > ρ, – тонет.

Уравнение неразрывности является следствием закона сохранения массы. При стационарном течении количество жидкости, втекающей в единицу времени в трубку тока через сечение S1, равно количеству жидкости, вытекающей через сечение S2(рис.1.11). Масса жидкости, протекающая за время ∆t через поперечное сечение трубки, определяется выражением

∆m = qrS∆t. (1.4.8)

В случае стационарного течения масса ∆m будет одной и той же для всех сечений трубки тока. Если взять два сечения, площади которых равны S1и S2, можно написать:

q1r1S1= q2r2S2. (1.4.9)

 

Рис. 1.11. Течение жидкости через разные сечения трубы

Если бы это равенство не соблюдалось, масса жидкости между сечениями S1и S2изменялась бы во времени. А это противоречит закону сохранения массы и предположению о стационарности течения. Если жидкость несжимаема, то q1= q2, и последнее соотношение принимает вид

r1S1= r2S2. (1.4.10)

Это соотношение называется уравнением неразрывности. Его физический смысл заключается в том, что жидкость нигде не накапливается, т.е. за одинаковый временной интервал в трубку тока втекает и вытекает равное количество жидкости. Скорость жидкости в одной и той же трубке тока больше там, где меньше площадь поперечного сечения трубки.

Уравнение Бернулли 3. Это уравнение, по сути, пред-

ставляет собой закон сохранения механической энергии для жидкости.

Подъем жидкости на некоторую высоту тоже требует наличия разности давлений на концах трубы или вода должна обладать начальной скоростью, например, при выкачивании воды из колодца с помощью насоса, который и задает ей начальную скорость. На рис.1.12 представлено перемещение жидкости с одного уровня на другой под действием разности давлений на концах трубы. Такое перемещение жидкости в трубе описывается уравнением Бернулли.

Вывести уравнение Бернулли можно из закона сохранения механической энергии при наличии внешних сил:

Ä mv 2

+ Ä mgh + A

Ä mv 2

=

+ Ä mgh

+ A, (1.4.11)

2 1 1 2 2 2

здесь A 1и A 2– работа внешних сил.

Учитывая, что

Δ m = ρV = liSi, Ai= Fili= PiSili= PiV, (1.4.12) за время t через сечения S 1 и S 2 проходит одинаковый объем жидкости V. Отсюда

ρv2

+ρgh +P =

ρv2

2 +ρgh +P. (1.4.13)

2 1 1 2 2 2

При этом скорости v 1 и v 2 связаны уравнением неразрывности (1.4.10).

 

 

3 Даниил Бернулли (1700–1782) – швейцарский физик, работавший в Петербургской академии наук, открыл закон в первой половине XVIII в.

 

 

Рис.1.12. К выводу уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли формулируется так: при стационарном течении жидкости в тех местах, где скорость течения меньше, давление жидкости больше и, наоборот, – где скорость течения больше, давление жидкости меньше. Оно имеет общий вид:

qr2+ qgh +P = const. (1.4.14)

В окружающей нас жизни закон Бернулли имеет множество примеров. Уравнение Бернулли лежит в основе действия карбюратора. Поток воздуха, движущийся сквозь узкую трубку, создает пониженное давление над трубкой с бензином. Это приводит к тому, что бензин вытягивается из бака и, подхваченный потоком воздуха, распыляется. Крыло самолета рассчитывается таким образом, что скорость течения воздуха над крылом выше, чем под ним. Поэтому, в соответствии с законом Бернулли, давление над крылом ниже, чем под ним. Это приводит к возникновению подъемной силы. Таким образом, подъем летающих аппаратов (самолетов, вертолетов) основан на действии закона Бернулли.

Вязкость жидкости. Скорость течения жидкости или газа неравномерна. Это обусловлено видом трения, которое называют внутренним трением или вязкостью. Например, в реке или ручье, чем ближе к берегам, тем медленнее движутся слои воды, чем ближе к центру, тем быстрее. Вязкость возникает из-за внутреннего трения между молекулами жидкости. Оно обусловливает возникновение различия скоростей движения частиц в потоке жидкости. Количественным выражением вязкости является коэффициент вязкости h, который определяется по формуле

 

F L

h = вязк.тр. (1.4.15)

VS

где F вязк.тр– сила, необходимая для перемещения одного слоя жидкости относительно другого; S – площадь перемещаемого слоя жидкости, V – скорость перемещения одного слоя жидкости относительно другого, L – ширина слоя.

Сила вязкого трения F вязк.трпропорциональна площади соприкасающихся слоев жидкости S и производной скорости (рис.1.14) по направлению вдоль оси Y от слоя к слою dV 4:

dy

F вязк.тр

= h S dV

dy

. (1.4.16)

Полученная формула называется уравнением Ньютона, где

5 – коэффициент вязкости жидкости. Единицей измерения вязкости является [ η ] = Н · с/м2= Па · с.

В результате, скорости разных слоев жидкости оказываются не одинаковыми. Градиент скорости слоев жидкости показан на рис.1.13.

Величина вязкости зависит от природы жидкости и ее температуры. Вязкость жидкостей уменьшается с увеличением температуры и наоборот. С целью уменьшения вероятности образования тромбов в крови используются препараты, уменьшающие вязкость крови.

 

Рис. 1.13. Распределение скорости движущейся жидкости, например, в реке

 

 

4 Производная скорости по направлению вдоль оси Y называют градиентом скорости: grad V º dV.

dy

Формула Пуазейля. Она была получена французским ученым Ж.Л. Пуазейлем5, который исследовал течение крови в кровеносных сосудах. Для потока несжимаемой жидкости в случае ламинарного течения (слои жидкости текут параллельно друг другу, без перемешивания) в цилиндрической

трубе им получено выражение

Q = p R

(P 1 - P 2), (1.4.17)

8 hL

где R – внутренний радиус трубы, L – длина трубы, P 1и P 2–

давление на концах трубы, h – вязкость жидкости.

Формула Пуазейля утверждает: поток жидкости текущей по трубе, пропорционален разности давлений действующих на нее с противоположных концов, четвертой степени радиуса трубы и обратно пропорционален ее длине и вязкости жидкости.

Формула Пуазейля используется при моделировании кровотока. С ее помощью можно объяснить, например, возрастание артериального давления. Для сохранения объема перемещаемой крови уменьшение радиуса кровеносных сосудов компенсируется возрастанием давления крови. Закупорка с возрастом большого количества капилляров или сужение крупных сосудов, по-видимому, является одной из причин возрастания давления крови.

Уменьшение радиуса сосудов в 2 раза приводит к увеличению давления в них в 16 раз!

С помощью формулы Пуазейля можно также объяснить течение воды в русле реки переменной ширины, рассчитать движение жидкости в трубах водопроводов, движение жидкостей, например, нефтепродуктов на предприятиях и т.д.

 

5 Французский врач и физиолог занимался исследованием кровообращения и дыхания. С этой целью он занимался вопросами гидродинамики.