Подтверждение надежности систем при экспоненциальном законе наработки на отказ

В случае экспоненциального закона распределения надежность можно оценить по соотношению

h = e^-λt

где λ – интенсивность отказа; t – требуемое время работы.

Точечная оценка надежности может быть рассчитана по соотношению

 

 

(2.28)

 

где

 

t_i – продолжительность i-го испытания до отказа;

к – число испытаний (полных реализаций).

Точечная оценка надежности (2.28) является случайной величиной и не дает гарантированный результат. Поэтому при решении вопросов обеспечения надежности в качестве гарантированной оценки рассмотрим нижний предел доверительного интервала вероятности безотказной работы:

(2.29)

 

где m_Нt – нижняя граница доверительного интервала для математического ожидания времени безотказной работы.

Согласно определению величина m_Нt удовлетворяет соотношению

(2.30)

 

где m_t – математическое ожидание времени безотказной работы;

 

β – корректировочный множитель, обеспечивающий выполнение соотношения (2.30); γ – принятый уровень доверительной вероятности.

После эквивалентных преобразований соотношение (2.30) можно представить в виде

 

Как известно, случайная величина подчиняется χ² – распределению с 2К степенями свободы, то есть

 

где χ_γ² – квантиль χ² – распределения по уровню γ.

Значения квантилей для различных уровней представлены в табл. 2.1а.

 

Таблица 2.1а.

 

 

Следовательно,

 

Отсюда

 

Таким образом, выражение для нижней границы m_Ht примет вид

(2.31)

 

 

Аналогично можно получить выражение для верхней границы доверительного интервала

 

Приравнивая выражения для верхней и нижней границ заданному значению времени работы t_зад и разрешая полученное соотношение относительно, получим выражения для нижней и верхней граничных кривых, определяющих области отработки элемента

 

(2.32)

Величина t_зад определяется из условия удовлетворения требований к надежности устройства

 

 

Отсюда

 

 

Характер изменения граничных кривых по числу испытаний для γ = 0,95 и задаваемые ими области отработки представлены на рис.2.6.

 

 

Согласно построению, попадание в верхнюю область «П» характеризует подтверждение надежности, так как для нее выполняется цепочка неравенств

 

Соответственно, попадание в нижнюю область «Д» показывает невыполнение требований, предъявляемых к надежности изделия, то есть

t_зад > m_Ht > m_t

При нахождении в средней области «И» никакого заключения сделать нельзя и испытания следует продолжить.