Применение метода статистического моделирования функций работоспособности для оценки надежности технических систем

Идея метода статистического моделирования (метода Монте-Карло) заключается в моделировании возможных реализаций параметров работоспособности системы. При этом, для получения конкретной реализации, случайным образом задаются входные воздействия и с помощью математической модели, описывающей поведение системы, определяются параметры ее функционирования, в частности, значения ее функций работоспособности.

Для определенности рассмотрим случай, когда работоспособность системы определяется выполнением системы неравенств: . Тогда надежность системы будет равна Очевидно, что выполнение всех условий работоспособности эквивалентно выполнению одного неравенства

, где (i = 1,2,…n).

Соответственно выражение для оценки надежности примет вид

,

где плотность распределения случайной величины .

Для расчета по этой формуле требуется определить выборку значений случайной величины . С этой целью для каждой i-той реализации рассчитываются значения параметров

и выбирается минимальный из них . В результате получаем выборку значений . Полученная выборка используется для нахождения закона распределения случайной величины . Методы оценки числовых характеристик случайных величин по статистическим данным рассмотрены во второй главе пособия.

Для решения задач методом Монте-Карло требуется большое количество случайных чисел. Эти числа получаются с помощью специальных датчиков, подключенных к компьютеру.

При решении задачи достаточно получить равномерно-распределенные случайные числа. От равномерно-распределенных случайных чисел x можно перейти к любому другому распределению . В дальнейшем будем считать, что функция непрерывна и монотонна (см. рис. 1.24). Тогда для каждого значения можно определить соответствующее значение , удовлетворяющее уравнению (см. рис. 1.24).

Рис. 1.24 Схема получения случайных чисел с заданной функцией распределения .

В частности, полагая этим способом получим нормально распределенную случайную последовательность , соответствующую случайной величине Y с математическим ожиданием и дисперсией . Линейное преобразование дает нормально распределенную случайную последовательность , соответствующую случайной величине Z, для которой математическое ожидание и дисперсия .