Простейшие операции над нечеткими множествами

Включение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Будем говорить, что А содержится в В, если m _B (x) ³ m _A (x), и обозначать эту операцию А ÌÌ В.

Пример 1.6. Пусть Е = { x ₁, x ₂, x ₃, x ₄}, 0 ≤ M ≤ 1,

А = {(x ₁|0,4), (x ₂|0,2), (x ₃|0), (x ₄|1)},

B = {(x ₁|0,3), (x ₂|0), (x ₃|0), (x ₄|0)}.

В соответствии с определением В ÌÌ А.

Равенство: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Будем говорить, что А и В равны тогда и только тогда, когда m _B (x) = m _A (x).

Пример 1.7. Пусть Е = { x ₁, x ₂, x ₃, x ₄}, 0 ≤ M ≤ 1,

А = {(x ₁|0,4), (x ₂|0,2), (x ₃|0), (x ₄|1)},

B = {(x ₁|0,4), (x ₂|0,2), (x ₃|0), (x ₄|1)}.

В соответствии с определением В = А.

Дополнение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Скажем, что А и В дополняют друг друга, если m _B (x) = 1 – m _A (x).

Пример 1.8. Пусть Е = { x ₁, x ₂, x ₃, x ₄}, 0 ≤ M ≤ 1,

А = {(x ₁|0,4), (x ₂|0,2), (x ₃|0), (x ₄|1)},

B = {(x ₁|0,6), (x ₂|0,8), (x ₃|1), (x ₄|0)}.

В соответствии с определением В = или А = .

Пересечение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Пересечение А Ç В определяют как наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В:

m _А _Ç _В (x) = min(m _A (x), (m _В (x)). (1.35)

Пример 1.9. Пусть Е = { x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅}, 0 ≤ M ≤ 1,

А = {(x ₁|0,2), (x ₂|0,7), (x ₃|1), (x ₄|0)), (x ₅|0,5)},

B = {(x ₁|0,5), (x ₂|0,3), (x ₃|1), (x ₄|0,1), (x ₅|0,5)}.

Тогда А Ç В = {(x ₁|0,2), (x ₂|0,3), (x ₃|1), (x ₄|0), (x ₅|0,5)}.

На основе (1.35) можно записать А и В => => А Ç В. Это позволяет ввести понятие «нечеткое и» – И.

Пример 1.10. Если А – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5, и В – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 10,

А = {(9|0,2), (6|0,8), (5|1), (10|0,1)), (7,5|0,5)},

B = {(9|0,8), (6|0,2), (5|0,1), (10|1), (7,5|0,5)},

то А Ç В – нечеткое подмножество действительных числе, очень близких к 5 И 10.

Тогда А Ç В = {(9|0,2), (6|0,2), (5|0,1), (10|0,1), (7,5|0,5)}.

Эту операцию можно проиллюстрировать на рис. 1.3, где А Ç В –заштрихованная взаимопересекающаяся часть двух окружностей вокруг точек 5 и 10.

Рис. 1.3. Графическая иллюстрация

операции пересечения двух нечетких множеств

Объединение: пусть Е – множество, М – множество принадлежностей, А и В – два нечетких подмножества множества Е. Объединение А È В определяют как наименьшее нечеткое подмножество, которое содержит как А, так и В:

m _А _È _В (x) = max(m _A (x), (m _В (x)). (1.36)

Пример 1.11. Пусть Е = { x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅}, 0 ≤ M ≤ 1,

А = {(x ₁|0,2), (x ₂|0,7), (x ₃|1), (x ₄|0), (x ₅|0,5)},

B = {(x ₁|0,5), (x ₂|0,3), (x ₃|1), (x ₄|0,1), (x ₅|0,5)},

тогда А È В = {(x ₁|0,5), (x ₂|0,7), (x ₃|1), (x ₄|0,1), (x ₅|0,5)}.

На основе (1.36) можно записать А или В => А È В. Это позволяет ввести понятие «нечеткое или» – ИЛИ.

Пример 1.12. Если А – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 5, В – нечеткое подмножество действительных чисел, очень близких к 10,

А = {(9|0,2), (6|0,8), (5|1), (10|0,1)), (7,5|0,5)},

B = {(9|0,8), (6|0,2), (5|0,1), (10|1), (7,5|0,5)},

то А È В – нечеткое подмножество действительных числе, очень близких к 5 ИЛИ 10. Тогда А Ç В = {(9|0,8), (6|0,8), (5|1), (10|1), (7,5|0,5)}.