Нагруженный резерв

а) общее резервирование

Надежность таких систем определяется числом резервных элементов, применяющихся на один рабочей элемент. Это число обозначается m и называется кратность резервирования

 

M = число резервных элементов / число основных элементов

 

При определении надежности резервных устройств мы предполагаем, что отказы его отд. элементов взаимно незаменимы, а так же резервируешиеся устройства имеют высокую надежностью. При этих допущения вероятность отказа устройства, состоящего из (m+1) параллельных ветвей, равна:

 

m+1 Qm+1 = П qj j=1

(5.1)

 

где

q_j вероятность отказа _j элемента

 

Вероятность безотказной работы такого устройства

 

m+1 Pm+1 = 1-Qm+1= 1- П qj J=1

(5.2)

 

Рассмотрим пример:

Система состоящая из двух систем параллельных ветвей с вероятностью q₁ и q₂. тогда Р=1-q₁,q₂

Q₁ = 1-P₁ Q₂ = 1-P₂

 

 

P= P1 +P2 – P1P2

(5.3)

 

В том случае, если все элементы резервной системы одинаковы, то выражение 5.1 и 5.2

Записываются в следующем виде

 

Qm+1 = q m+1

(5.4)

 

Pm+1 = 1-qm+1

(5.5)

 

Вероятность безотказной работы системы состоит из последовательного соединения элементов

 

n P = П Pi i=1

(5.6)

 

n Q= 1-P = 1 - П Pi i=1

(5.7)

 

Найдем вероятность отказа устройства, состоящего из последовательно параллельно включающихся элементах.

 

 

Вероятность отказа такой системы

 

m+1 n Q n,m+1 = П [1 - П Pij] i=1 j=1

(5.8)

 

m+1 n Робш = Рn,m+1 = Qn,m+1 = П(1 - П Pij) i=1 j=1

(5.9)

Для устройства, состоящего из последовательно параллельно включающихся одинаковых элементах, можно записать

 

Qобш = Q n,m+1 = (1- Рn)m+1=[ 1-(1-q)n]m+1

(5.10)

 

Робш = 1-Qобш =1-(1- Р)n,m+1

(5.11)

 

Если выражение 5.10 разделить в биноминальный рад заменить m+1 = K и пренебречь членами высших порядков

 

Qобш = [ 1-(1-q)n]r≈ nкqк

(5.12)

 

 

(1-q)ⁿ = 1 – nq + (n(n-1) / 2!)q² - (n(n-1)(n-2) / 3!)q3

 

б) Раздельное резервирование

.

Обозначим через q_i вероятность отказа участка резервирования, тогда вероятность отказа раздельного резервирования можно определить:

n

Q_разд = 1 – ПPi Pi = 1-q_i

i=1

при m – кратном резервировании, а с основным m+1 = K_i

 

K qi = Пqj j=1

(5.13)

 

n n к Qразд = 1 – П(1-q1) = 1- П(1-Пqj) i=1 i=1 j=1

(5.14)

 

Если все элементы в системе одинаковы, то

 

Qразд = 1-(1-qк)n

(5.15)

 

Если 5.15 в биноминальный ряд и отбросить члены высшего порядка, то

 

Qразд ≈ n qk

(5.16)

 

Pразд = (1- Qk)n= [1-(1-p)k]n

(5.17)

 

Сравним общее и раздельное резервирование в зависимости от числа участков n и кратности резервирования m и надежности элементов Р

 

K = Q_обш / Q_разд = n^m+1q^m+1/nq^m+1=n^m

 

Для примера n=50, P=0,9

Р = 0,005, m = 0

Р_общ = 0,01, m =1

Р_разд = 0,5, m = 1

 

 

При экспоненциальном распределении отказов

 

Робщ = 1-(1-e-λtn)m+1

(5.18)

 

При раздельном резервировании вероятность отказа

 

К= Рразд [ 1-(1-e-λt)к]n

(5.19)

 

Чистота отказов

 

fp(t) = d[1-p(t)]/dt = n(m+1)λoe-λot(1-e-λt)m [1-(1-e-λot)к]n-1

(5.20)

 

Интенсивность отказов

 

Λр(t) = fp(t) / Pp(t) = n (m+1) λo e-λot(1-eλt)m / [ 1-(1-e-λt)k]n

(5.21)

 

Среднее время безотказной работы можно найти интегрируя выражения для вероятности безотказной работы.

 

Тср = ∫ Рр(t) dt = 1 / λo + 1 / 2λo + ….. + 1/ kλo = To (1 + ½ +…1/k)

(5.22)