II. Системы случайных величин

В практических приложениях теории вероятностей очень часто приходится сталкиваться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайных величин, образующими систему. Систему случайных величин можно описать в виде многомерных законов распределения , либо приближенно при помощи статистических характеристик.

При рассмотрении вопросов, связанных с системами случайных величин, удобно пользоваться геометрической интерпретацией. Например, систему из двух случайных величин можно изобразить случайной точкой на плоскости с координатами и (рис. 8, а).

Рис. 8. Система двух случайных величин:

а) – графическая интерпретация; б) – положительная корреляция величин и ; в) – отрицательная корреляция величин и ; г) – величины и некоррелированы.

Совокупность математических ожиданий m_x, m_y представляет собой характеристику положения системы. Геометрически – это координаты средней точки на плоскости, вокруг которой происходит рассеивание.

Рассеивание случайной точки в направлении осей OX и OY характеризует дисперсии величин и : D_x и D_{y .}

При изучении систем случайных величин всегда следует обращать внимание на степень и характер их зависимости. Понятие о зависимости случайных величин – одно из важнейших понятий теории вероятностей, где мы встречаемся с более общим типом зависимости, чем функциональная – вероятностной или статистической зависимостью.

Если случайные величины и находятся в вероятностной зависимости, то это не означает, что с изменением величины величина изменяется вполне определенным образом (как при функциональной зависимости двух величин); это лишь означает, что с изменением величины величина имеет тенденцию также изменяться (например, возрастать или убывать при возрастании ). Эта тенденция соблюдается лишь в среднем, и в каждом отдельном случае от нее возможны отступления.

Численно статистическая зависимость между двумя случайными величинами выражается при помощи корреляционного момента, который вычисляется по формулам:

· для дискретной случайной величины

, (II.1)

или

. (II.1)

· для непрерывной случайной величины

(II.1)

В случае, если X=Y, корреляционный момент равен дисперсии случайной величины : K_xy=D_x.

В практических задачах для оценки степени корреляции между двумя величинами удобнее пользоваться относительной характеристикой, называемой коэффициентом корреляции:

, (II.2)

где .

Если r_xy>0, то между случайными величинами и существует положительная корреляционная зависимость. Это означает, что при возрастании одной из них другая имеет тенденцию в среднем возрастать (рис. 8, б).

При отрицательной корреляции r_xy >0, что означает, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию убывать (рис. 8, в)

При r_xy =0 случайные величины статистически независимы (рис. 8, г).

Если , то можно считать, что рассматриваемые величины и связаны функциональной зависимостью.