Закон равномерной плотности

В некоторых задачах практики встречаются непрерывные случайные величины, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала; кроме того известно, что в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны. О таких случайных величинах говорят, что они распределены по закону равномерной плотности.

На рис. 3, а показано вертикально поставленное симметричное колесо, которое приводится во вращение и затем останавливается вследствие трения. Рассматривается случайная величина – угол, который после остановки будет составлять с горизонтом фиксированный радиус колеса OА. Очевидно, величина распределена с равномерной плотностью на участке (0;2 ).

Плотность вероятностей равномерно распределенной случайной величины X на участке вычисляется по формуле (рис. 3, б)

. (I.10)

Так как площадь под кривой распределения всегда равно единице, то

(I.11)

Функция распределения F(x) вычисляется как площадь кривой распределения, лежащей левее точки x. Следовательно,

. (I.12)

График функции F(x) приведен на рис. 3, в.

Математическое ожидание величины равно:

. (I.13)

Дисперсия равна

, (I.14)

откуда среднее квадратическое отклонение

. (I.15)

Рис. 3. Закон равномерной плотности:

а) – случайная величина q; б) – плотность распределения p (x); в) – функция распределения F (x)