Вывод формулы для расчета погрешности косвенных измерений

(при расчете функции нескольких аргументов,

измеренных непосредственно).

Задана формула, по которой рассчитывается функция Y:

Проведено “n” измерений всех аргументов [x₁, x₂,…, x_k], известны СКО S(х_k) по каждому из аргументов.

Чему равно СКО функции S(Y)=?

Эту задачу решим вначале для функции двух аргументов Y=f [x₁, x₂].

Ограничения:

1)погрешности аргументов Δx_k чисто случайные и независимые;

2)погрешности аргументов Δx_k существенно меньше значений аргументов Х_k;

3)плотность распределения погрешностей Δx_k симметрична относительно центра;

4)функция Y непрерывна в заданном диапазоне и имеет производные в каждой точке.

Тогда эту функцию можно разложить в ряд Тейлора по степеням производных.

Предположим, нам известны точные значения функции Y₀ и аргументов x₁⁰, x₂⁰.

Тогда погрешности в результате 1го измерения получим в виде:

Y₀ + Δy₁ =f(x₁⁰, x₂⁰ ) + отсюда погрешность Δy₁ в результате 1го измерения

(пренебрегаем членами разложения производных более высокого порядка, кроме 1го):

Аналогично, для 2го измерения:

Для n-го измерения:

- 30 -

Возведем каждое из этих уравнений (левые и правые части) в квадрат и сложим, получим:

Слагаемое:

при достаточно большом значении числа измерений “n” стремится к нулю, с учетом ограничения №3.

Разделив левую и правую часть уравнения на “n”, получим:

Очевидно, что полученный вывод можно распространить и на общий случай функции Y от “k” аргументов:

Дисперсия функции «k» аргументов равна сумме произведений квадратов частных производных функции по аргументам на дисперсии соответствующих аргументов.

СКО функции:

Полученный результат распространяют также на все виды нормированных погрешностей, например, рассчитываемых по классам точности приборов, измеряющих величины аргументов функции

 

- 31 -

ПРИЛОЖЕНИЕ П2