Численно закон распределения задается в виде таблицы, например такой

 

Х
Р	0,25	0,5	0,25

 

Графически закон распределения случайной дискретной величины изображается многоугольником распределения

 

 

В диапазоне изменения случайной непрерывной величины Х для каждого числа х существует определенная вероятность Р(Х < х), что Х не превосходит х. Зависимость

F(x) = Р(Х < х) = ò f(x) dx

 

называется функцией распределения, интегральной функцией распределения или законом распределения случайной непрерывной величины Х.

Функция F(x) является неубывающей (монотонно возрастающей для непрерывных величин) функцией х. В пределах изменения случайной величины Х она меняется в пределах 0 £ F (x) £ 1.

Функция f(x) называется плотностью распределения. В задачах надежности она используется как плотность вероятности.

Плотность вероятности f (x), связанная с функцией распределения соотношением

f (x) = d F (x) / dx,

называется дифференциальным законом распределения случайной величины.

 

В теории надежности используются, в основном, следующие характеристики дискретных и непрерывных случайных величин:

- математическое ожидание (среднее значение) - m_x,

а) для дискретных величин –

m_x = S p_i x_i,

б) для непрерывных величин –

m_x = ò x f(x)dx

 

- дисперсия -D_x, (характеризует разброс случайной величины),

а) для дискретных величин –

D_x = S (x_i - m_x)²p_i,

б) для непрерывных величин –

D_x =ò (x - m_x)² f(x)dx

- среднее квадратическое отклонение - s,

s = Ö D_x

- коэффициент вариации v,

v = s / m_x

Исследование закономерностей изменения технического состояния автомобилей должно базироваться на основных вероятностных законах распределения наработок, которые определяют моменты возникновения отказов. Наработка является непрерывной случайной величиной.

В теории надежности автомобиля чаще всего пользуются следующими законами распределения наработок t: экспоненциальным, нормальным, логарифмически нормальным и распределением Вейбулла.

Экспоненциальное распределение наработок характерно для периода нормальной эксплуатации изделия, когда постепенные (износовые) отказы еще не проявляются и надежность определяется внезапными отказами.

Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоятельств и поэтому имеют постоянную интенсивность, которая не зависит от возраста изделия.

Функция распределения наработок имеет вид:

F(t) =1 - e ^{- lt},

Плотность распределения:

f (t) = l e ^{- lt}.

Нормальное распределение является наиболее универсальным, удобным и широко применяемым для практических расчетов. Этому закону подчиняются, как правило, наработки до отказа тех изделий, которые отказывают из-за износа трущихся поверхностей, коррозионных разрушений и других факторов, приводящих к монотонному изменению параметров функций изделий.

Функция распределения наработок имеет вид:

F (t) = (1 / s Ö 2p) ò exp{- [(t – m)² / 2 s²]} dt

Плотность распределения:

 

f (t) = (1 / s Ö 2p) exp{- [(t – m)² / 2 s²]}

Нормальное распределение имеет два независимых параметра - m и s, что неудобно для практических расчетов. Поэтому в расчетах на надежность применяют нормированное нормальное распределение F₀ (х) и нормированную плотность вероятности f₀ (х),

 

F₀ (х) = ò f₀ (х) dх

f₀ (х) = (1 / s Ö 2p) exp{- [х² / 2 ]}

 

а также функцию Лапласа Ф(х).

Ф(х) = ò f₀ (х) dх

 

F₀ (х) = 0,5 + Ф(х)

Величина х = (t – m) / s называется квантилью нормированного нормального распределения и обычно обозначается - u_p

Для нормального распределения характерно правило трех сигм (3 s), согласно которому абсолютная величина отклонения случайной величины от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

В теории надежности, на практике, правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в правиле трех сигм выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально. В противном случае она не распределена нормально.

В логарифмически нормальном распределении логарифм случайной величины распределяется по нормальному закону. Как распределение положительных величин, оно несколько точнее, чем нормальное описывает наработку до отказа деталей, в частности, по усталости, а также подшипников качения, элементов электронных схем и других изделий.. Это распределение более применимо для оценки степени износа к определенному времени или при испытаниях на долговечность.