Хвилі типу Е в круглому хвилеводі

 

Умова існування хвиль типу Е: , .

Представимо вирішення у вигляді добутку двох функцій

.

Підставим цей вираз у (73) і після ділення на дістанемо два незалежних рівняння

а)

б) (74)

Рівняння (74) ідентичне рівнянню (46) і тому його вирішення

, (75)

де ; ; m - ряд цілих чисел.

Рівняння (74 б) - це рівняння Бесселя. Його вирішення

. (76)

Зауважимо, що функція Неймана при . Для того, щоб використа­ти N_m, як вирішення (76) необхідно сподіватися, що амплітуда ,

що не відповідає фізичному змісту, тому приймемо, що А₃=0.

Тоді вирішення буде

. (77)

Позначимо добуток A₁A₂=E_0z, тоді

. (78)

Геометрія хвилеводу така, що він має циліндричну симетрію, тому струк­тура E_z не повинна залежати від величини початкового куту , тому приймемо

.

Тоді (78) прийме вигляд

. (79)

Знайдемо К_кр за допомогою граничної умови , або для КХ

при r=R.

З (79) виходить, що E_z(R)=0, якщо J_m(K_кpR)=0, тобто треба знати такі значення аргументу K_кpR, при яких функція J_m(K_кpR) перетинає вісь аргументу. Такі зна­чення аргументу, як відомо, звуться коренями відповідного рівняння. Позначи­мо їх . Тут m - порядок функції Бесселя, n - номер кореня. Далі ми будемо використовувати вирази (11) та (12), а при цьому доведеться брати похідні , тобто буде необхідно знати також корені похідної від функцій Бесселя - ; приклад для функції J₀ зображений наhbc.2.15.

Рисунок 2.15 - Функція J₀ та її похідна J₀^’

 

Таблиця 1 - Значення коренів функції Бесселя та їх похідних

 

n
m
	2,405	5,520	8,65	3,832	7,016	10,17
	3,832	7,016	10,17	1,841	5,332	8,57
	5,135	8,417	11,62	3,054	6,705	9,97
	6,379	9,761	13,02	4,201	8,015	11,34

 

Кожному значенню відповідає своє значення К_кр, позначим його , тому , а звідси отримаємо

. (80)

Хвиля буде розповсюджуватися, коли , або , звідки . Знайдемо .

- підставимо сюди з (80) і отримаємо

. (81)

З (81) отримаємо умову поширення хвиль типу Е в круговому хвиле­воді з радіусом R

(82)

Структуру поперечніх складових знайдемо з використанням (11) та (12). За­уважимо, що в циліндричній системі координат оператор має вигляд

і з його використанням отримаємо вирази для попереч-ніх складових е.м.п. хвиль типу Е в круглому хвилеводі

(83)

В (83) штрих позначає похідну від функції Бесселя по всьому аргументу. Висновки:

1. вирази (78) та (83) показують, що поле в поперечному перерізі зале-­
жить від та r, причому m - число стоячих півхвиль по азимуту, n - по радіусу.

Маючи на увазі цей висновок, для хвиль типу Е вводять позначення .

2. Зіставляючи вирази (82) та (83) можемо прийти до висновку, що індекс m може приймати значення, починаючи з нуля, а індекс n - починаючи з одиниці (n - номер кореня).

3. З даних, що приведені в таблиці 1 видно, що найнижчим типом серед хвиль типу Е є хвиля типу Е₀₁. Її критична довжина хвилі .

Для прикладу розглянемо структуру поля хвилі Е₀₁.

Підставимо m=0, n=1 в (82) та (83) і отримаємо

(84)

Як видно з цих виразів, варіацій по азимуту немає, а по радіусу - закон функції Бесселя, та її похідної -рис.2.16.

 

Рисунок 2.16- Розподіл - а) та , - 6)

 

Розглядати будемо, як завжди - спочатку по складовим, а потім повну структуру.

При побудуванні картин розподілення складових хвилі Е₀₁ зауважимо, що, як виходить з (84), ці розподілення не залежать від координати , тобто, якщо розвернути коло в пряму лінію, то , , =const, а не з різними значеннями, наприклад для E_z -рис. 2.17.

 

Рисунок 2.17 - Розподіл складової

 

Структура та розподіли складових та зображені на рис. 2.18, а складової - нарис. 2.19

Рисунок 2.18 - Структура та розподіли складових - а) та - б)

 

Рисунок 2.19 - Структура та розподіл складової

 

Повна структура е.м.п. хвилі Е₀і зображена на рис.2.20.

 

Рисунок 2.20 - Повна структура е.м.п. хвилі Е₀₁ для КХ

 

По причині незалежності структури поля хвилі Е₀₁ від азимутальної коор­динати, ця хвиля використовується в хвилеводних пристроях, що призначені для обертання однієї частини хвилеводу відносно іншої.

Далі розглянемо хвилі типу Н круглого хвилеводу.