Потенциал электромагнитного поля вдали от излучателей в дипольном приближении

Ещё более упростить формулы для потенциалов можно, используя для приближение:

()

При этом полное время запаздывания слагается из двух частей: Первая, , называемая временем запаздывания системы, представляет время распространения электромагнитного поля от начала координат до точки наблюдения. Вторая, , называемая собственным запаздыванием – это время, требующееся для распространения поля, в пределах системы. По порядку величины ,так что при собственное запаздывание .

В принципе, плотность заряда можно разложить по малому параметру :

()

При этом, однако, не должна являться быстро изменяющийся функцией своего аргумента, т.е. за врем я конфигурация зарядов в системе не должно успеть сильно измениться. За время заряды проходят путь .Если этот путь мал по сравнению с размерами системы, то есть

или ()

то разложение () правомерно.

Подставляя тогда () в () и ограничившись членами разложения с наименьшими степенями получим

где .Слагаемое мало по сравнению с на достаточно большом удалении от системы.

Т.к. в формуле все величины берутся в один и тот же момент времени, то - это просто полный заряд системы в момент времени . Для электронейтральной системы он равен нулю. В этом случае

()

Воспользовавшись уравнением непрерывности перепишем интеграл в правой части

Последний интеграл удобно вычислить в координатном представлении

где и – границы области движения зарядов, на которой плотность тока обращается в ноль.

В векторном виде будем иметь

()

Подставляя () в () находим

()

Аналогично, для потенциала получаем

()

Так что

()

Введем понятие дипольного момента системы зарядов:

()

Например, для системы состоящей из двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов, , именуемой диполем

Теперь, используя определение (), мы видим, что

Здесь мы учили, что - переменная интегрирования, независимая от . Следовательно

()

()

Итак, в рассматриваемом приближении потенциалы поля вдали от системы определяются значением производной по времени от её дипольного момента. Поэтому такое приближение называется дипольным. Оно применимо при выполнении условия ().

Легко проверить, что в этом приближении потенциалы удовлетворяет калибровке Лоренца

Смысл полученных результатов прост: при движении зарядов в системе (изменений её дипольного момента) в окружающим пространстве возникает электромагнитном поле.

Потенциалы этого поля убывает по закону , в то время как потенциалы электростатического поля по закону .

Система неравномерного движущихся зарядов является излучателем.