БИЛЕТ №3

Теорема о циркуляции вектора . В курсе механики было доказано, что работа поля центральных сил зависит только от начального и конечного положений частицы. Эквивалентным утверждением является: работа такого поля по перемещению частицы вдоль замкнутой траектории равна нулю. Такие поля называются потенциальными. Теорема о циркуляции вектора является выражением свойства потенциальности электростатического поля. Работа сил электростатического поля при перемещении точечного заряда q из точки 1 в точку 2 (рис.11):

.

Разделим эту работу на q:

. (17)

Отношение А/q это работа поля переноса единичного заряда из 1 в 2.

Интеграл вида (17), вычисленный вдоль замкнутой траектории, называется циркуляцией вектора :

.

Теорема о циркуляции вектора утверждает: циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю: =0.

Доказательство. Электростатическое поле точечного заряда является полем центральных сил, и, следовательно, потенциальным. Поэтому работа его сил на замкнутом пути равна нулю: А = =0, Þ . Таким образом, циркуляция поля точечного заряда равна нулю. Докажем это и для системы n точечных зарядов. По принципу суперпозиции напряженность поля системы точечных зарядов равна: . Умножим это равенство скалярно на вектор перемещения вдоль произвольного замкнутого контура и проинтегрируем по этому контуру:

. (18)

Каждый интеграл в правой части равен нулю как циркуляция вектора напряженности электростатического поля отдельного точечного заряда, следовательно, и вся сумма равна нулю. Таким образом, циркуляция электростатического поля системы n точечных зарядов также равна нулю. Переходя к пределу в (18) нетрудно убедиться, что и для непрерывно распределенного заряда циркуляция электростатического поля равна нулю.