Нормальное распределение, или закон Гаусса

Закон больших чисел, как мы выяснили, играет огромную роль в социологии и статистике. Без него не могли бы возникнуть и успешно развиваться науки, занятые изучением массового поведения. Закон больших чисел гласит, что в результате взаимопогашения случайных отклонений средние, исчисленные для величин одного и того же вида, становятся типичными, отражающими действие постоянных и существенных факторов в данных условиях времени и места. Он утверждает господство средне-типичного, а это как раз то, что интересует социологию. Но он не говорит ничего о том, как велика та часть населения, которая составляет в нормально развивающемся обществе большинство.

На этот вопрос отвечает другой закон — нормального распределения, или закон Гаусса.

Гаусс Карл Фридрих (1777—1855) —немецкий математик, иностранный член-корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Петербургской АН. Еще при жизни Гаусс был удостоен почетного титула «принц математиков». Он блестяще находил практические применения результатам своих фундаментальных исследований и из конкретных задач прикладных областей умел извлекать проблемы, представляющие интерес для фундаментальной науки. В области прикладной математики он не только получил ряд важных результатов, но и создал новые на-

Посмотрев на все это подобным образом, я понял, как глупо я себя вел. В тот же момент я решил прекратить беспокоиться и всегда применять закон больших чисел. С тех пор я забыл про свою язву желудка».

Когда Эл Смит был губернатором штата Нью-Йорк, я слышал, как он отражал нападки своих политических противников, повторяя снова и снова: «Давайте изучим факты... давайте изучим факты». Затем он начинал приводить факты. В следующий раз, если вы или я будем беспокоиться о том, что может случиться, послушаемся мудрого старого Эла Смита: давайте изучим факты и решим, есть ли повод для нашего мучительного беспокойства. Именно так поступал Фредерик Дж. Малстедт, когда испугался, что уже лежит в могиле. Вот что он рассказал мне в период занятий на моих курсах для обучения взрослых в Нью-Йорке: «В начале июня 1944 года я находился в одиночном окопе вблизи Омаха-Бич. Я служил в 999 роте связи, и мы только что "окопались" в Нормандии. Когда я посмотрел на этот одиночный окоп (он выглядел как яма прямоугольной формы в земле), ^я ^сказал себе: "Похоже на могилу". Когда я лег в

его и попытался заснуть, мне показалось, что я Действительно в могиле. Я невольно подумал:

Наверное, это и в самом деле моя могила". ¹¹ часов утра начались налеты немецких бом-РДировщиков, и на нас посыпались бомбы. Я

одеревенел от страха. В первые две или три ночи я совсем не мог спать. К четвертой или пятой ночи я был почти в состоянии нервного шока. Я понял, что необходимо что-то сделать, иначе я сойду с ума. Тогда я напомнил себе, что прошло пять ночей, а я все еще жив, и все были живы в нашем подразделении. Только двое были ранены, да и то не немецкими бомбами, а осколками снарядов наших собственных зенитных орудий. Я решил прекратить беспокоиться и заняться чем-либо конструктивным. Я сделал толстое деревянное покрытие над своим окопом, которое защищало меня от осколков зенитных снарядов. Я подумал о том, что наше подразделение занимает очень большой участок. Я сказал себе, что в этом глубоком, узком одиночном окопе можно погибнуть лишь от прямого попадания; и я прикинул, что шанс прямого попадания бомбы составлял даже меньше, чем один к десяти тысячам. Размышляя таким образом две ночи, я успокоился и спал даже во время бомбежек!» Чтобы одолеть привычку беспокоиться, прежде чем она одолеет вас, выполняйте правило: Изучите факты. Спросите себя: «Каковы шансы по закону больших чисел, что событие, из-за которого я беспокоюсь, когда-либо произойдет?» Сокращено по источнику: Карнеги Д. Как завоевать друзей и оказывать влияние на людей / Пер. с англ. — М., 1989. С. 566-572.

правления в науке. Непреходящее значение для всех наук, имеющих дело с обработкой наблюдений, имеют разработанные Гауссом методы получения наиболее вероятных значений измеряемых величин. Особенно широкую известность получил созданный Гауссом 1821-1823 гг. метод наименьших квадратов. Гауссом заложены также и основы теории ошибок.

Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство основной теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференциальной геометрии (внутренняя геометрия поверхностей), математической физики (принцип Гаусса), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и многих разделов астрономии.

Рис. 3. Нормальное распределение

Кривая Гаусса имеет гармонически выраженный, эстетически совершенный графический вид (рис. 3). Вероятностное распределение непрерывной случайной переменной отражает куполообразная кривая, получившая название гауссовой кривой (у нее множество названий, в том числе — симметричный холм, графический колокол, колоколообразная кривая). Нормальное статистическое распределение значений переменной абсолютно симметрично относительно центральной оси.

Нормальное распределение встречается в нашей жизни на каждом шагу, стоит только внимательнее присмотреться. Например, если случайным образом выбрать тысячу человек и построить гистограмму распределения их по росту, то в результате получится нормальное распределение. Оно будет иметь пик в точке, соответствующей среднему росту в группе, но при этом будет наблюдаться некоторый разброс вокруг среднего. Разбросаны они весьма любопытным образом: большинство значений, близких к среднему, концентрируется в центре, а незначительная часть значений, сильно отклоняющихся от среднего, равномерно распределяется влево и вправо. На рис. 3 это выглядит так:

♦ 68% всех значений измеряемой переменной находится на расстояниине более одного стандартного отклонения от среднего, т.е. в диапазоне от -1до +1 (на языке статистики это звучит так: указанные значения лежат в диапазоне ± 1 стандартного отклонения от среднего);

♦ 95% — на расстоянии не более 2 стандартных отклонений, т.е. в диапазоне от -2 до +2 (иначе говоря: диапазон +2 стандартных отклонений содержит 95% значений).

Другими словами, при нормальном распределении стандартизованные наблюдения, меньше -2 или больше +2, имеют относительную частоту менее 5% (стандартизованное наблюдение означает, что из исходного значения

вычтено среднее и результат поделен на стандартное отклонение). В результате точная форма нормального распределения задана только двумя параметрами: средним значением и стандартным отклонением.

Асимметрия распределения с длинным правым хвостом положительна. Если распределение имеет длинный левый хвост, то его асимметрия отрицательна. Если эксцесс (показывающий «остроту пика» распределения) существенно отличен от 0, то распределение имеет или более закругленный пик, чем нормальное, или, напротив, имеет более острый пик (возможно, имеется несколько пиков).

Итак, ²/з всех значений (если мы имеем дело с нормальным распределением значений какого-либо массового явления в обществе, например количества ленивых и трудолюбивых, одаренных и бездарных) лежит в пределах 70%, а оставшиеся 30% равномерно распределяются, постепенно убывая, влево и вправо. Средним значением в этих двух случаях будут люди наполовину ленивые и трудолюбивые, наполовину одаренные и бездарные. Соответственно очень талантливых в обычном обществе, если в нем нет физиологических аномалий, должно быть примерно 10%, а гениев — менее 5%. В свою очередь, совершенно бездарных — 10%, аполных идиотов — менее5%. На основе знания нормального распределения событий, свойств и явлений в больших массах людей можно делать неплохие прогнозы, в частности, отслеживать, когда общество переходит от состояния нормы к состоянию патологии. Таким образом, кривая Гаусса имеет не только статистическую, но и социальную интерпретацию. Иными словами, с ней происходит то же самое, что с законом больших чисел, у которого мы обнаружили две составляющие — гносеологическую и онтологическую.

Если в качестве средней величины принять социальную норму, то отклонения от нее в позитивную и негативную сторону выразит знакомый нам симметричный холм. В зависимости от того, позитивным или негативным является отклонение, все формы девиаций можно расположить вдоль некоторого континуума.

♦ На одном полюсе этого континуума разместится группа лиц, проявляющих максимально осуждаемое поведение: революционеры, террористы, не-

патриоты, политические эмигранты, предатели, преступники, вандалы, циники, бродяги.

♦ На другом полюсе расположится группа с максимально одобряемыми отклонениями от нормы: национальные герои, выдающиеся артисты, спортсмены, ученые, писатели, художники и политические лидеры, миссионеры, передовики труда.

Если бы мы провели статистические подсчеты, то оказалось бы, что в нормально развивающихся обществах в обычных условиях на каждую из этих групп пришлось бы примерно по 10—15% общей численности населения. А около 70% членов общества составили бы «твердые середняки» — люди, проявляющие лишь несущественные отклонения своих качеств и своего поведения от неких «норм».

Рис. 4. Пример нормального распределения храбрых и трусливых людей в достаточно большой

по размерам популяции

На рис. 4 изображено нормальное распределение случайно появляющихся или наблюдаемых признаков в обществе при достаточно большом количестве наблюдений. Выдающиеся позитивные качества (смелость, гениальность, сострадание и др.) встречаются среди людей столь же редко, как и выдающиеся негативные, причем удельный вес их в общей структуре примерно одинаков, поскольку нормальное распределение симметрично. Но часто в силу того, что они больше других обращают на себя внимание окружающих, может создаваться впечатление, что их достаточно много. То же самое происходит и с отклоняющимся поведением. Преступников-злодеев — если общество развивается в нормальных условиях — бывает обычно не более 5% от общей численности населения; людей, совершивших более или менее тяжкие преступления непредумышленно и готовых встать на путь исправления, как правило, не бывает более 15%. Если эти цифры оказыва-

ются в криминальной статистике выше, то следует задуматься о том, что общество, может быть, нездорово.

Множество других социальных явлений в стабильном обществе, носящих массовый характер, распределяется по форме кривой Гаусса (рис. 5).

Рис. 5. Кривая Гаусса — универсальное средство выражения количественного распределения в обществе массовых социальных свойств, признаков, черт, явлений, процессов и т.д.

Согласно такому закону, очень храбрых, как и очень трусливых, в обществе всегда меньшинство. Очень одиноких и никогда не знающих одиночества не более 10% всего населения. Красивые и безобразные, честные и мошенники, талантливые и бездарные и т.п. распределяются среди населения таким образом, что большинство (70%) — ни красивые, ни безобразные, ни гении, ни бездари. Эти качества сочетаются у них примерно в одинаковой пропорции, поэтому о большинстве из нас можно сказать, что мы в меру талантливы и бездарны, честны и бесчестны, красивы и безобразны, разумны и неразумны, одиноки и общительны.

Кривая Гаусса, примененная к социальным явлениям, гласит: чем ярче выражен данный признак, тем реже он встречается, и наоборот. Но подобный закон действует только при соблюдении следующих условий:

♦ данный признак должен распределяться в населении случайным образом и подчиняться статистическим закономерностям;

♦ общество не должно оказывать на признак одностороннего влияния.С первым условием дело обстоит достаточно просто. Гораздо сложнее

объяснить второе условие. Вмешаться в случайное распределение признака среди населения общество может самыми разными способами. Один из них — планомерная социальная политика либо недостаток таковой (если государство не борется с преступностью, то вскоре количество преступников становится больше, чем это предполагается по законам статистического распре -

В17

деления). Другой способ вмешательства — не зависящие от сознательных намерений или действий государства серьезные нарушения в деятельности общественных институтов. Когда институт семьи терпит кризис, то количество разводов резко превышает количество браков, число брошенных своими родителями детей выше, чем предполагалось по законам статистического распределения.

Смещение статистической кривой особенно наглядно проявляется в социально-классовой структуре. Численность бедных в США 14%, богатых — 5%, зажиточных — 81%; в России соответственно 40-70%, 3-10%, 10-40% (оценки приблизительные, экспертные). При случайном распределении картина должна быть иной: 5% очень богатых, 10% зажиточных, 70% — ни богатых, ни бедных, 10% обедневших, 5% очень бедных. Однако практически ни одно общество, ни одна страна в мире не подчиняется такой закономерности. Объяснение кроется в том, что социально-классовая пирамида представляет собой результат действия множества неслучайных факторов: помощь правительства бедным, наследование имущества и аккумуляция богатства, сращение институтов власти и бизнеса, дифференциальная оплата труда в зависимости от квалификации и трудового вклада и др. Воздействуя на социальную пирамиду, общество добивается нужных целей и принятия выгодных ему моделей поведения. В частности, оно заинтересовано в том, чтобы у большинства людей складывалась мотивация к достижениям, ориентация на вертикальную мобильность, стремление к успеху. Отсюда вытекает, что общество никогда не допустит, чтобы низы зарабатывали больше верхов.

Врезка