Закон больших чисел

Названием «закон больших чисел» объединена группа теорем, устанавли­вающих устойчивость средних результатов большого количества случайных явлений (теоремы Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа, Ляпунова, Линде-берга, центральная предельная теорема, неравенства Чебышева и Колмого­рова, леммы Теплица и Кронекера и др.)¹³.

Голубков Е.П. Маркетинговые исследования // Маркетинг в России и за рубежом. 2001. № 1. Закон больших чисел // http://www.exponenta.ni/educat/cIass/courses/tv/themeO/l O.asp

Простейшей и исторически первой формулировкой закона больших чи­сел стала теорема Бернулли, утверждающая, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной. Пусть

— число успехов в и испытаниях Бернулли и р — вероятность успеха в от­дельном испытании. Тогда при любом справедливо

Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому его вероятностей и пе­рестает быть случайной.

Предельные теоремы теории вероятностей, теоремы Муавра-Лапласа объясняют природу устойчивости частоты появлений события. Они утвер­ждают, что предельным распределением числа появлений события при не­ограниченном возрастании числа испытаний (если вероятность события во всех испытаниях одинакова) является нормальное распределение™.

Центральная предельная теорема объясняет широкое распространение закона нормального распределения. Те­орема утверждает, что во всех случаях, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин с ко­ нечными дисперсиями, закон распреде­ления этой случайной величины прак­тически соответствует закону нормального распределения.

Теорема Ляпунова объясняет широкое распространение закона нормального распределения и описывает механизм его функционирования. Теорема позволя­ет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сло­жения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной вели­чины практически оказывается законом нормального распределения.

Неравенство Чебышева определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожи­дания больше некоторого заданного числа.

Таким образом, содержание закона больших чисел сводится к следующе­му: в массе индивидуальных явлений общая закономерность проявляется тем пол­нее и точнее, чем больше их охвачено наблюдением. Закон выражает общий принцип, в силу которого в большом числе явлений при некоторых общих ус­ловиях почти устраняется влияние случайных факторов. Он устанавливает одну из важнейших закономерностей, изучаемых теорией вероятностей.

Закон больших чисел получил свое математическое доказательство в тео­рии вероятностей, а также подтверждение в многочисленных эксперименталь­ных проверках. Французский естествоиспытатель А. Бюффон поставил следу­ющий опыт: подбросил монету 4040 раз, при этом орел выпал 2048 раз, а реш-

Подробнее о законе нормального распределения см. в следующем параграфе.

ка 1992 раза. Отсюда частость выпадения орла составила 2048/4040 = 0,507 и отклонилась от вероятности его выпадения в каждом отдельном случае, рав­ной % лишь на 0,007 (0,507 — 0,500). В этом эксперименте полностью прояви­лось влияние постоянных причин, а случайные факторы отклонили результа­ты только на весьма незначительную величину.

Для социологии, особенно количественной, активно практикующей ста­тистические методы, важно именно это: случайные отклонения и ошибки в измерении величин взаимопогашаются в массе явлений. Чем больше респон­дентов вы опросили, тем ярче проявляет себя этот удивительный закон. Правда, у него есть и негативная сторона: он стимулирует социолога гнать­ся за все большим числом опрашиваемых, подстраховываясь от влияния слу­чайных факторов. Погоня за числом, большими массами — один из главных аргументов противников позитивизма и количественной методологии.

Но ведь это действительно объективный факт: чтобы обнаружить стати­стическую закономерность, надо изучать большие совокупности. И с этим ничего не поделаешь. Сторонники качественной методологии, подобно эко­логам, озабоченным сохранением уникальной природы планеты, хотят убе­речь от массовизации главное — человеческую индивидуальность. В искус­стве же статистического вывода отдельный случай, равно как и человечес­кая индивидуальность, рассматривается в статусе случайной величины, т.е. погрешности измерения, от которой надобно избавляться.

Однако то, что не устраивает представителей качественной социологии, весьма по сердцу сторонникам социальной статистики и количественной социологии. Закон, гласящий, что совокупное действие большого числа слу­чайных факторов приводит, при некоторых весьма общих условиях, к резуль­тату, почти не зависящему от случая, им очень выгоден, так как случай — едва ли не главный враг научного измерения.

Принято считать, что социология — единственная наука, которая точ­но знает, что думает и чего хочет среднестатистический человек. Действи­тельно, при помощи количественных распределений ответов на вопросы анкеты социология показывает среднетипичное мнение большой группы людей. Как наука, она отражает объективную реальность своеобразным, присущим только ей способом. Социология имеет дело с поведением дос­таточно больших масс людей, поэтому задача социолога — обнаружить индивидуальные различия людей, носящие систематический характер, обобщить их в закономерности, освободившись от всего случайного, не­главного. Тем самым он описывает устойчивые свойства социального яв­ления или процесса.

Инструментом выявления устойчивых свойств в социальных явлениях и процессах служит закон больших чисел. Он применяется социологами во всех статистических расчетах, без него немыслима эмпирическая социология. Закон незаменим при анализе процентного распределения ответов респон­дентов (опрашиваемых). Если социолог выбирает достаточно большое чис­ло наблюдений, т.е. спрашивает множество людей, и каждое наблюдение не зависит друг от друга или все они от — какой-то общей причины (иными сло­вами, когда респонденты при заполнении анкеты не влияют друг на друга), то он выявляет устойчивые связи, массовый процесс. На законе больших чисел строится процедура выборочного обследования в социологии (его принцип: о многих судить на основании знания о немногих).

В свое время академик B.C. Немчинов объявил закон больших чисел осно­вой статистики. Он полагал, что данный закон имеет для статистической науки такое же значение, как и закон всемирного тяготения для небесной механики. По определению B.C. Немчинова, закон больших чисел — «это общий принцип, в силу которого совокупное действие большого числа индивидуальных причин и условий, содержащих в себе элементы случайного характера, при некоторых весьма общих условиях приводит к результату, почти не зависящему от случая»'⁵.

Закон больших чисел имеет гносеологическое и онтологическое приме­нение. В первом случае он используется как инструмент статистического описания эмпирических знаний, позволяющий социологу их правильно интерпретировать. Это обычная область приложения закона.

Гораздо реже его пытаются применить к обществу и социальным явлени­ям непосредственно, объясняя на его основе структуру и динамику человече­ских общностей. В этом случае аппарат математической статистики не исполь­зуется, а закон больших чисел применяют к объяснению самих явлений, про­исходящих в обществе, практически так же, как используют дарвиновский закон борьбы за существование. Специалисты, поступающие так, утвержда­ют, что в социальном мире, как и в джунглях, где царствует закон борьбы за существование, выживают только сильнейшие. Точно так же, онтологизируя закон больших чисел, они заявляют, что только в современных обществах, на­считывающих сотни тысяч и миллионы людей, господствует вероятностная статистика, которая и управляет миром. В древних, весьма малочисленных, обществах его действие не всегда проявлялось либо оказывалось незаметным.