Законы распределения вероятности и их числовые характеристики

Математический аппарат теории вероятностей широко используется в метрологии. Рассмотрим некоторые свойства законов распределения вероятности, являющихся моделями эмпирических законов распределения, получаемых из экспериментальных данных методами математической статистики.

Функция распределения вероятности F (x) и плотность распределения вероятности P (x) служат в теории вероятности моделями эмпирических законов распределения экспериментальных данных.

Свойства законов распределения вероятности:

1. Функция F (x) определяет вероятность того, что отдельный результат, полученный по формулам (1, 4) будет меньше ее аргумента.

2. Так как вероятность не может быть отрицательной, то F (x) ³ 0 всегда; и чем больше х, тем больше вероятность того, что ни один результат, полученный по формулам, не превысит этого значения, так как F (x) – функция неубывающая.

3. Результат, полученный по приведенным выше формулам, больше некоторого х ₁ с вероятностью F (x ₁) и меньше х ₂ с вероятностью F (x ₂):

.

4. P (x _i) связано с F (x _i) формулой:

,

то есть P (x) является дифференциальной функцией распределения вероятности.

5. Так как F (x) – функция неубывающая, то ее производная неотрицательна.

6. Вероятность того, что отдельный результат, полученный по формулам, окажется в заданном интервале, равна площади, ограниченной графиком функции P(x), осью абсцисс и перпендикулярами на концах интервала:

7. При расширении интервала до бесконечности рассматриваемое событие становится достоверным. Поэтому площадь, ограниченная графиком функции P (х) и осью абсцисс, равна 1:

.

Описание отсчета или результата измерения с помощью законов распределения вероятности является наиболее полным, но неудобным. Во многих случаях ограничиваются приближенным описанием закона распределения вероятности с помощью его числовых характеристик,или моментов. Все они представляют собой некоторые средние значения, причем, если усредняются величины, отсчитываемые от начала координат, моменты называются начальными, а если от центра закона распределения – центральными.

Общее правило написания моментов:

,

где r – номер момента.

Важнейшим начальным моментом является первый, его называют математическим ожиданием M (x) или средним значением результатов:

.

Свойства математического ожидания:

1) математическое ожидание неслучайного числа равно самому этому числу:

M (a) = a, где а – неслучайное число, а = const;

2) постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M (a · x) = a · M (x);

3) математическое ожидание алгебраической суммы случайных чисел равно алгебраической сумме их математических ожиданий:

M (x + y - z) = M (x)+ M (y) – M (z);

4) математическое ожидание произведения независимых случайных чисел равно произведению их математических ожиданий:

M (x · y) = M (x)· M (y);

5) математическое ожидание отклонения случайного числа от его математического ожидания равно нулю:

M [ x – M (x)] = 0.

Мерой рассеяния отдельных результатов, полученных по формуле (1) или (4), около их среднего значения служит второй центральный момент. Общее правило образования центральных моментов записывается следующим образом:

откуда сразу видно, что первый центральный момент тождественно равен нулю:

Второй центральный момент называется дисперсией и обозначается :

Иногда дисперсию удобнее обозначать символом D (х).

Свойства дисперсии:

1) дисперсия неслучайного числа равна нулю:

D (a) = 0;

2) постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат:

D (a · x) = a ²· D (x);

3) дисперсия алгебраической суммы двух случайных чисел

,

где коэффициент корреляции

;

4) дисперсия алгебраической суммы независимых случайных чисел равна арифметической сумме их дисперсий:

D (x + y – z) = D (x)+ D (y)+ D (z);

5) дисперсия случайного числа равна разности между математическим ожиданием его квадрата и квадратом математического ожидания:

D (x) = M (x ²) – M ²(x).

Чем больше дисперсия, тем значительнее рассеяние результатов, полученных по формулам (1), (4) относительно .

В метрологии в качестве меры рассеяния чаще используют среднее квадратическое отклонение:

.

Находит применение и третий центральный момент:

Мерой несимметричности распределения вероятности служит асимметрия:

,

которая может быть положительной и отрицательной. Для симметричных распределений вероятности отсчета асимметрия равна нулю

Четвертый центральный момент используется для оценки заостренности дифференциальной функции распределения вероятности. Мерой заостренности служит эксцесс:

,

равный трем у закона распределения вероятности отсчета, кривая плотности вероятности которого имеет колоколообразную форму. Кривые с более острой вершиной имеют больший эксцесс, с более пологой – меньший, вплоть до отрицательного.

Мерой неопределенности случайного числа является энтропия (мера хаоса):

.

Это среднее значение логарифма плотности вероятности, взятое со знаком минус. Так как P (х)< 1, то энтропия всегда положительна. Она равна нулю у неслучайного числа и максимальна при равномерной плотности распределения вероятности.

Дифференциальная и интегральная функции (F (x _i), P (x _i)) распределения вероятности и все моменты обладают важным качеством: будучи характеристиками случайного числа, сами они не являются случайными.

Таблица 1

 

-распределение модуля многомерного вектора			>0
- распределение (Пирсона)			>0	При Где - Пси –функция Эйлера
- распределение

 

Наиболее распространенной формой плотностью распределения вероятности результатов измерений во многих природных процессах является так называемое нормальное распределение (распределение Гаусса) (рис.9). Некоторые из законов распределения вероятности результатов измерений представлены в табл. 1