Функция Грина уравнения Гельмгольца

 

 

-уравнение Гельмгольца

в правой части этого уравнения – источник , в левой – поле источника .

,

Для нахождения решения уравнения Гельмгольца вводят функцию Грина, удовлетворяющую условию:

Здесь надо использовать разложение функции Грина в интеграл Фурье:

где

Для -функции:

Подействуем на функцию Грина оператором :

Используем то, что , а следовательно :

Тогда перепишется в виде:

Равенство этих интегралов приводит к равенству фурье-образов:

Тогда фурье-образ функции Грина:

Теперь надо найти оригинал. Используем для этого теорию вычетов:

Пусть - угол между и . Обозначим . Введём сферические переменные .

, тогда .Следовательно

Используем теорию вычетов. У этого интеграла есть два полюса: и . Надо использовать при расчёте полюс , чтобы получить физически обоснованную асимптотику.

Переходим в комплексную плоскость, замыкаем контур обхода сверху. Используем фиктивный переход:

Это позволяет получить нужную асимптотику.

- функция Грина уравнения Гельмгольца

Обозначим