Функция Грина в случае неограниченной области

 

 

Рассмотрим случай:

Влияние границы отсутствует.

, т.е. мы можем помещать и в любое место пространства.

Получим Фурье-образ и саму функцию Грина. Рассматриваем случай изотропной среды.

Для удобства, временно примем обозначение .

Тогда:

Запишем для и разложение в интеграл Фурье:

Здесь - фурье-образ, а - элементарный объём в -пространстве.

фурье-образ -функции равен

Рассмотрим левую часть этого равенства. Лапласиан действует на , значит, нам надо рассчитать

Т.е. переходит в , тогда получим:

тогда

Переход в -пространство переводит дифференциальное уравнение в алгебраическое.

 

Этот интеграл можно взять, используя теорию вычетов. Получаем:

Производим обратную замену :