Тензорная формулировка уравнений Максвелла в среде

Рассмотрим уравнения Максвелла в среде с диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью . Область за фронтом электромагнитного поля будет определяться неравенством , где – функция координат. Собственное время фронта будет иметь вид . Правую часть зададим в виде плотности тока , где – проводимость среды, а – плотность стороннего тока.

Напомним, как выводятся макроскопические уравнения Максвелла [6]. Рассмотрим микроскопические уравнения:

(21)

Здесь и означают компоненты микроскопического электромагнитного поля, а и – микроскопические плотности заряда и тока, в том числе, ответственные за поляризацию и намагниченность среды.

Рассмотрим ту пару уравнений Максвелла, которая не содержит и . Усредним их по пространственным переменным, обозначая , . Значок означает усреднение.

Пусть , где – плотность внешнего заряда, а – плотность заряда, создающего поляризацию. На масштабах усреднения интеграл по любому объему равен нулю. Поэтому можно представить в виде , где – векторное поле, которое называют поляризацией среды. Рассмотрим третье уравнение системы (21). Применяя к нему процедуру усреднения, получим уравнение

(22)

где – индукция электромагнитного поля.

Величина определена с точностью до любого соленоидального векторного поля. Продифференцируем (22) по времени и воспользуемся непрерывностью заряда:

(23)

Величина под знаком дивергенции в (23) может быть представлена в виде ротора некоторого векторного поля . Получим последнее макроскопическое уравнение Максвелла:

(24)

Для того, чтобы определить систему макроскопических уравнений Максвелла, постулируем, что , .

Величины и получены прямым усреднением компонент электромагнитного поля, которые являются компонентами тензора. Это означает, что

(25)

является кососимметричным тензором второго ранга типа . Поскольку и зависят от и линейно, можно ввести тензор

, (26)

который связан с тензором соотношением , где – кососимметричный по парам индексов и тензор, описывающий свойства среды.

С помощью введенных тензоров уравнения Максвелла в среде могут быть записаны в следующем виде:

, (27)

Уравнения (27) можно получить вариацией функционала действия, если действие для поля представить в виде . Тогда тензор энергии-импульса можно записать в следующем симметричном виде: