Уравнения Максвелла для заряженных частиц в вакууме в тензорной форме, получение из них уравнений в дифференциальной векторной форме

Уравнения Максвелла для зарядов в вакууме, получаемые путем вариации функционала действия, представляют собой соотношения, связывающие компоненты тензора электромагнитного поля и 4-вектора плотности электрического тока. Тензор электромагнитного поля является кососимметричным тензором второго ранга типа . В лабораторной системе координат , он имеет следующий вид [2]:

(1)

Наборы компонент и тензора составляют 3-векторы электрического и магнитного полей соответственно.

Лабораторные координаты в дальнейшем будем обозначать , . Введем координаты , соответствующие собственному времени:

, , , . (2)

Рассмотрим – тензор электромагнитного поля в координатах :

 

(3)

Установим соответствие между компонентами тензоров и . Для этого построим матрицы Якоби замены координат на :

, , (4)

и вычислим явно, как преобразуется тензор электромагнитного поля [3]:

,

откуда

.

Первая пара уравнений Максвелла в тензорном виде имеет следующий вид [2]:

(5)

Здесь операция – внешнее дифференцирование кососимметрического тензора

.

Эта операция является тензорной [4], то есть ее координатная запись не зависит от выбора системы координат. Поэтому

.

В силу этого первая пара трехмерных уравнений Максвелла в собственном времени:

,

где , , и обозначают дивергенцию и ротор в координатах , а .

Рассмотрим преобразование 4-вектора плотности электрического тока при переходе (2) из координат в координаты . Пусть в координатах , где – плотность заряда, – 3-плотность электрического тока. Тогда в координатах

. (6)

Вторая пара уравнений Максвелла с помощью тензора электромагнитного поля и 4-вектора плотности тока записывается в следующем виде:

, (7)

где обозначает ковариантное дифференцирование, а

,

где – метрический тензор в координатах ,

.

В координатах

.

Ковариантное дифференцирование является тензорной операцией. Уравнение (7) в произвольных координатах имеет следующий вид:

, (8)

где – символы Кристоффеля.

Рассмотрим второе слагаемое в уравнении (8). Вычислим символы Кристоффеля в координатах [4]:

.

Среди всех комбинаций, возможных в правой части, только , , отличны от нуля. Во второе слагаемое (8) входят только те символы Кристоффеля вида , которые равны нулю. Третье слагаемое представляет собой свертку символов Кристоффеля, симметричных по нижним индексам с тензором, кососимметрическим по тем же индексам, поэтому оно равно нулю. Значит, в координатах уравнение (8) имеет вид:

Отсюда следует вторая пара трехмерных уравнений Максвелла:

,

где .

Таким образом, полная система уравнений Максвелла в собственном времени, то есть в координатах имеет следующий вид:

,