Частоты собственных колебаний

Решим задачу, пренебрегая влиянием трения на частоты собственных колебаний. Поскольку решается однородная система, то из (*) получаем

,

. (**)

Ищем решение в виде , и после подстановки в (**), получаем однородную систему линейных уравнений относительно А₁,А₂

,

ненулевое (нетривиальное) решение которой возможно только при равенстве нулю определителя системы, т.е.

.

Решение в виде косинусов дает тот же результат.

Аналогичное уравнение получается и для системы с n степенями свободы. Однако для двух степеней свободы получает решаемое в квадратурах биквадратное алгебраическое уравнение относительно собственных частот. Его решение –

.

Отношение называют коэффициентом формы собственных колебаний. Для двухмассовой системы это

.

Для системы с n степенями свободы решение возможно только численно.

В нашем примере, поделив массу стержня m на две равные части, получаем собственные частоты

, , .

Собственные колебания масс по первой частоте синфазные, а по второй - противофазные. Равенство коэффициентов формы единице в примере определяется симметрией задачи.

Заметим для сравнения, что если считать задачу одномассовой с массой посредине, то

и частота собственных колебаний .

Результат иллюстрирует общее свойство собственных частот: низшая частота системы с n степенями свободы всегда несколько больше низшей частоты с меньшим числом степеней свободы.

Для системы с n степенями свободы собственные частоты получаются численным решением уравнения

.

В качестве примера рассмотрим результат расчета собственных частот при распределении массы в трех равноудаленных точках:

.

Податливости определялись численно и для повышения точности усреднялись: и т.д. Как видно, первые две частоты больше, чем определенные для двух степеней свободы. Таким образом, подтверждается правило: расчет по конечномассовой модели всегда дает нижнюю оценку собственных частот.