Б) Цепь с катушкой индуктивности

 

Как известно из курса средней школы, при одной и той же амплитуде синусоидальное напряжение, приложенное к концам прямого проводника, вызовет ток бóльшей силы, чем в катушке, намотанной из того же проводника. Причиной уменьшения силы тока является ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке.

Переменный ток, протекающий по виткам катушки, образует вокруг них переменное магнитное поле. Это магнитное поле пронизывая витки катушки, создает переменный поток магнитной индукции и вызывает в них индукционный ток.

Возникающая в катушке электродвижущая сила самоиндукции Е_i, как известно, пропорциональная скорости изменения тока в цепи:

 

(6)

 

Коэффициент самоиндукции (индуктивность) L показывает, какая ЭДС самоиндукции возникает в проводнике при скорости изменения тока на 1А за 1сек. Индуктивность катушки L зависит от числа витков, размера и формы катушки, а также от наличия в катушке ферромагнитного сердечника.

Рис.4

 

Схема цепи с катушкой индуктивности L изображена на рис.4

Для упрощения рассмотрения процессов в данной цепи пренебрежем омическим сопротивлением провода катушки индуктивности.

Предположим, что к цепи приложено напряжение

U(t) = U_o^.sin wt. (7)

Воспользуемся опять правилом Кирхгофа. В данной цепи падение напряжения равно нулю, так как мы пренебрегли омическим сопротивлением проводника катушки, но действуют две электродвижущие силы: напряжение источника тока и электродвижущая сила самоиндукции. Поэтому по правилу Кирхгофа для данной цепи получим

0 = U(t) + E_i. (8)

Подставляя в (8) выражение для приложенного напряжения U(t) и электродвижущей силы самоиндукции Е_i, получаем

U_osin wt - L dI/dt = 0. (9)

Чтобы получить закон изменения тока в цепи, необходимо решить полученное дифференциальное уравнение. Решим это уравнение, разделив переменные:

;

,

.

Постоянная интегрирования С будет равна нулю, так как ток не имеет постоянной составляющей. Пользуясь тригонометрическими формулами преобразуем полученное соотношение:

(10)

Сопоставление выражений для напряжения и тока (7) и (10) показывает, что в цепи с индуктивностью ток и напряжение изменяются не в фазе. Сила тока отстает от напряжения по фазе на p/2 или на четверть периода (Т/4).

Выражение (10) позволяет найти связь между амплитудой силы тока и амплитудой внешнего напряжения. Действительно, выражение U_o/wL, входящее в (10), имеет смысл амплитудного значения силы тока

I_o= U_o/ wL. (11)

Выражение (11) по внешнему виду аналогично закону Ома для постоянного тока. Величина wL играет роль сопротивления в цепях переменного тока, содержащих катушку индуктивности. Эту величину называют индуктивным сопротивлением

X_L = wL = 2p×f×L. (12)

Физический смысл индуктивного сопротивления состоит в том, что оно учитывает влияние на величину силы тока в цепи ЭДС самоиндукции, которая противодействует приложенному напряжению.

Как следует из (12), индуктивное сопротивление Х_L зависит от частоты. С ростом частоты Х_L линейно увеличивается. Для постоянного тока (f = 0) индуктивное сопротивление равно нулю.

Индуктивное сопротивление как и омическое сопротивление измеряется в омах.

Индуктивные сопротивления периодически накапливают энергию, в виде энергии магнитного поля, а затем возвращают её источнику, но сами энергию не поглощают. По этой причине индуктивное сопротивление получило название реактивного сопротивления в отличие от омического (активного) сопротивления, в котором происходит превращение электрической энергии в теплоту или другие неэлектрические виды энергии.