Пермь 2007

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

Функции нескольких переменных

Индивидуальные задания

 

Пособие разработано доц. Гониной Е. Е. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

 

 

Пермь 2007

Вариант 1

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) б)

1. Вычислить приближенно .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln (y²-e^-x).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = e^x-2y, где , y = t³ при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x³+y³+z³-3xyz = 4, в данной точке M₀ (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+6z-4x+8 = 0, M₀(2,1,-1);

б) S: 4x²-9y²-9z²-36 = 0, M₀(3,0,0).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = ln (x+y) в т. M₀(1,3) в направлении линии y² = 9x в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+y-xy в области

D: y = x,y = 4, x = 0.

Вариант 2

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin (x-y), б) z = ln (2-x-y) + .

1. Вычислить приближенно .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arctg (x²+y²)
3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln (e^x+e^-y), где x = t², y = t³ при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²+y²+z²-xy = 2, в данной точке M₀ (-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+z²-4y² = -2xy, M₀(-2,1,2);

б) S: x²+y²-z = 6, M₀(1,-1,-1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x²-3x-y-1 в т. M₀(2,1) в направлении, идущем от т. М₀ к т. N(5,5).
2. Исследовать на экстремум функцию z = x³+8y³-6xy+5.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-x-2y в области

D: y = x,y = 0, x = 3.

Вариант 3

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = ln (1-x²-y²)+ .

1. Вычислить приближенно (1,03)^3,98.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = y^x, где x = ln (t-1), при t = 2, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: , в данной точке M₀ (2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln (x²+(y+1)²) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+3z-xy = 7, M₀(1,2,1);

б) S: 4x²-9y² = 36, M₀(-3,0,0).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(6,-8) в направлении линии y = x² в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 1+15x-2x²-xy-2y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+8y+2xy-4x в области

D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1.

Вариант 4

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln (4-x²-y²); б) z = y + arcsin (x+2).

1. Вычислить приближенно cos 59° sin 32°.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arccos (x-y²).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = e^y-2x+2, где , y = cos t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: e^z+x+2y+z = 4, в данной точке M₀ (1,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = x^y указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+6z+4x = 8, M₀(-1,1,2);

б) S: x²-y+z²-6 = 0, M₀(1,-1,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin () в т. M₀(5,5) в направлении линии y² = 5x в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 1+6x-x²-xy-y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 5x²+y²-3xy в области

D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1.

Вариант 5

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = + ln (4-x²-y²).

1. Вычислить приближенно arсtg .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos (x³-2xy)
3. Вычислить значение производной сложной функции u = x²e^y, где x = cos t, y = sin t, при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²+y²+z²-z-4 = 0, в данной точке M₀ (1,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = xy/(x+y) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:2x²-y²+z²-4x+y = 13, M₀(2,1,-1);

б) S: 25y²-4x²-4z²-5 = 0, M₀(1,1,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M₀(1,4) в направлении линии xy = 4 в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функциюz = x³+y²-6xy-39x+18y+20.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2xy-y²-4x в области

D: x-y+1 = 0,y = 0, x = 3.

Вариант 6

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ; б) z = (4-x²-y²)+ – .

1. Вычислить приближенно (2,05)²/((2,05)²+(3,01)²).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln (e^x+e^y) где x = t², y = t³ при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: z³+3xyz+3y = z, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^xy указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²-6y+4z+4 = 0, M₀(2,1,-1);

б) S: x²+z²-5y² = 0, M₀(-1,1,3).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y²+xy в т. M₀(3,1) в направлении линии 4x-3y-9 = 0 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 2x³+2y³-6xy+5.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+y²-2x-2y+8 в области

D: y+x-1 = 0,y = 0, x = 0.

Вариант 7

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = arccos (x + y); б) z = .

1. Вычислить приближенно 0,97 ^1,05.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin (2x³y).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = x^y, где x = e^t,y = ln t при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: cos ² x + cos ²y + cos ²z = 1,5 в данной точке M₀ () с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = sin ²(x-ay) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+z²-5yz+3y = 46, M₀(1,2,-3);

б) S: 3x²+y² = 9, M₀(,2 2,1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M₀(2,2) в направлении линии xy = 4 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 3x³+3y³-9xy+10.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x³-xy²+y² в области

D: y = 0,y = 6, x = 0,x = 1.

Вариант 8

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin (3-x²-y²).

1. Вычислить приближенно .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln (3x²y-y²).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = e^y-2x, где x = sin t, y = t³ при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y),заданной неявно: e ^z-1 = cos x cos y + 1, в данной точке M₀ (0,π/2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-xz-yz = 0, M₀(0,2,2);

б) S: x²+y²-4z² = 4, M₀(-2,2,1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arcsin () в т. M₀(5,5) в направлении линии y² = 5x в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = x²+xy+y²+x-y+1.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x+6y-xy-x²-y² в области D: y = 0,y = 1, x = 0,x = 1.

Вариант 9

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln (x²+y²-3); б) .

1. Вычислить приближенно ln ((2,02)²+ ).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = e^-(x3+y3)y.
3. Вычислить значение производной сложной функции u = x²e^-y, где x = sin t, y = sin ²t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²+y²+z²-6x = 0, в данной точке M₀ (1,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-z²+2yz+y-2z = 2, M₀(1,1,1);

б) S: x²-y² = 16, M₀(5,3,-1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = ln (x²+y²) в т. M₀(1,1) в направлении линии x²+ y² = 2 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 4(x-y)-x²-y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²-2y²+4xy-6x-1 в области D: x+y = 3,y = 0, x = 0.

Вариант 10

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б)z = arcsin + arcsin (1-y).

1. Вычислить приближенно .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln ( -1).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln (e^-x+e^y), где x = t², y = t³ при t = -1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: xy = z²-1, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e ^{- cos (x+ay)} указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y^{2 _} z²-2xy+2x = z, M₀(1,1,1);

б) S: 3x²-11y²+3z²+5 = 0, M₀(1,1,1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(6,8) в направлении линии x²+y² = 100 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 6(x-y)-3x²-3y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2xy-10 в области

D: y = 0,y = x²-4.

Вариант 11

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln (y²-x²); б) z = .

1. Вычислить приближенно (3,02)³ .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = tg(y⁴x³).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = e^y-2x-1, где x = cos t, y = sin t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²-2y²+3z²-yz+y = 2, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^xy указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S:z = x²+y²+2x-2xy-y, M₀(-1,-1,-1);

б) S: x²+y²+2z² = 10, M₀(1,1,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции в т. M₀() в направлении линии x²+y² = 2x в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = x²+xy+y²-6x-9y.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-2x-y в области

D: y = 0,y = 4, x = 0,x = 3.

Вариант 12

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ln (9-x²-y²); б) z = arcsin (x+y).

1. Вычислить приближенно ln ( – ).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2xy + .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cos t при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²+y²+z²+2xz = 5, в данной точке M₀ (0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция arctg указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = y²-x²+2xy-3y, M₀(1,-1,1);

б) S: x²+y²-4z² = 1, M₀(1,2,-1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg (xy) в т. M₀(1,-1) в направлении линии y = -x в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = (x-2)²+2y²-10.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 0,5x²-xy в области

D: y = 8, y = 2x².

Вариант 13

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = ln (4+4x-y²).

1. Вычислить приближенно (sin 1,56)(cos 1,58).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 2- ln .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arccos (2x / y), где x = sin t, y = cos t при t =π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x cos y + y cos z + z cos x = , в данной точке M₀ (0, , π) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln (x²+y²+2x+1) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀, y₀, z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x²-y²-2xy-x-2y, M₀(-1,1,1);

б) S: x²-5y+z² = 0, M₀(1,2,-3).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg в т. M₀(1,1) в направлении линии x²+ y² = 2x в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = (x-5)²+y²+1
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x²+3y²-2x-2y+2 в области D: y + x-1 = 0, y = 0, x = 0.

Вариант 14

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а)z = ; б) z = arcsin 3xy.

1. Вычислить приближенно 3,1+4,2- .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = cos (x- ).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = 1-2t,

y = arctg t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

1. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: 3x² y²+2xyz²-2x³z+4y³z = 4, в данной точке M₀ (2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
2. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-2y²+z²+xz-4y = 13, M₀(3,1,2);

б) S: x²-7y+z² = 4, M₀(3,2,3).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = xe^y в т. M₀(1,1) в направлении линии xy = 1 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = x³+y³-3xy.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x² + 3y²-1 в области

D: y = , y = 0.

Вариант 15

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arccos (x+2y); б) .

1. Вычислить приближенно 3,03⁴+1,98⁵+15.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = e^t, y = 2-e^2t при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²-2y²+z²-4x+2z+2 = 0, в данной точке M₀ (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e ^–(x+3y) sin (x+3y) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 4y²-z²+3z+4xy-xz = 9, M₀(1,-2,1);

б) S: x²-4y²+z²-4 = 0, M₀(-2,1,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = 5x²-3x-y-1 в т. M₀(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2)к т.M₀.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-2x²-4y².
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²-2xy-y² + 4x + 1 в области D: y = 0, x+y+1 = 0, x = -3.

Вариант 16

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin ; б) z = ln (y²-x²),

1. Вычислить приближенно 2,01∙ 1,03/ ((2,01)⁴+(2,97)²),
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcos (x-2y²),
3. Вычислить значение производной сложной функции u = ln (e^-x +e^-2y) где x = t², при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой,
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x+y+z+2 = xyz, в данной точке M₀ (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой,
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x²+y²-3xy-x+y+2, M₀(2,1,0);

б) S: x²+y²-z-6 = 0, M₀(2,1,-1).

1. Определить градиент и производную заданной функции в т. M₀() в направлении линии x²+ y²+2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = x –x²-y+6x+3.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 3x²+3y²-x-y+1 в области

D: x = 5, y = 0, x-y-1 = 0.

Вариант 17

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln (x²-y²); б) z = arcsin .

1. Вычислить приближенно (2- )^3,02.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = 5xy²+ ln xy².
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = ln t, y = t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x² + y² + z²-2xz = 2, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = arctg указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x²-y²+2z²+xz+xy = 3, M₀(1,2,1,);

б) S: x²+y²-4z² = 4, M₀(2,-1,1).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg (xy) в т. M₀(-1,4) в направлении линии y = -x+3 в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-5x²-3y²+2.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 2x² +2xy-0,5y²-4x в области D: y = 2x, y = 2, x = 0.

Вариант 18

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln (x²-y²); б) z =

1. Вычислить приближенно tg 46° sin 29°.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cos t при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: e^z-xyz-x+1 = 0, в данной точке M₀ (2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln (x+e ^–y) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²+z²-4x+2y = 14, M₀(3,1,-4);

б) S: x²+y² = 5z, M₀(1,3,2).

1. Определить градиент и производную заданной функции z = x²+y² в т. M₀(-6,8) в направлении линии y = (2/9)x² в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = xy(12-x-y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²+2,5y²-2xy-2x в области D: y = 0, y = 2, x = 0,x = 2.

Вариант 19

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = -8; б) .

1. Вычислить приближенно (2,03)²/ .
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = y²-4xy+ sin (2xy²).
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где , при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x³+2y³+z³—3xyz-2y-15 = 0, в данной точке M₀ (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln (x²-y²) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-z²+xz+4y = 4, M₀(1,1,2);

б) S: x²+5y²+z² = 10, M₀(1,-1,2).

1. Найти направление наибольшего возрастания функции u = x²y²z в любой точке и в т. М₀(2,-1,3) и скорость возрастания в этом направлении.
2. Исследовать на экстремум функцию z = xy-x²-y²+9.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy-3x-2y в области

D: y = 0, y = 4, x = 0,x = 4.

Вариант 20

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) .

1. Вычислить приближенно 2,03/((2,03)⁴+(2,97)²).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = ln (y-x²-3).
3. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin t,y = cos t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²-3y²+z²-2xy+6x-2y-8z+20 = 0, в данной точке M₀ (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция e^{– cos (x+3y)} указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²-z²+xz-4x = -5, M₀(-2,1,0);

б) S: x²-y²+z² = 30, M₀(3,2,5).

1. В направлении какой линии: y² = 4x или x²+y² = 5 в т.М₀(1,2) функция z = x³+y³ изменяется быстрее в сторону убывания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = 2xy-3x²-2y²+10.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² + xy-2 в области

D: y = 4x²-4, y = 0.

Вариант 21

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln (3x-y); б) z = .

1. Вычислить приближенно 3,09e ^0,09.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin (2x-y³)+x.
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = ln t, y = t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²+y²+z² = y-z+3, в данной точке M₀ (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e^x(x cos y-y sin y) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-xz+yz-3x = 11, M₀(1,4,-1);

б) S: x²+y²-4x+2y+4 = 0, M₀(2,-2,0).

1. По какому направлению должна двигаться т. М(x,y,z) при переходе через т. M₀(-1,1,-1),чтобы функция возрастала с наибольшей скоростью?
2. Исследовать на экстремум функцию z = x³ + 8y³-6xy +1.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x² y (4-x-y) в области

D: y = 6-x, y = 0, x = 0.

Вариант 22

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = y- ; б) z = .

1. Вычислить приближенно 4/((1,03)²+(2,97)²).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arcsin , где x = sin t, y = cos t при t = π, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²+y²+z²+2xy-4x-yz-3y-z = 0, в данной точке M₀ (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .

1. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+2y²+z²-4xz = 8, M₀(0,2,0);

б) S: 2x²-y+2z² = 0, M₀(1,10,2).

1. В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М₀(2,2) функция z = x³+y³-3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
2. Исследовать на экстремум функцию z = y -y²-x+6y
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x³-y³-3xy в области

D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.

Вариант 23

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = –x; б) z = arcsin (1-x²-y²) + arcsin 2xy.

1. Вычислить приближенно arсtg (0,96/1,05).
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin (xy)-3xy².
3. Вычислить значение производной сложной функции , где x = sin 2t, y = tg ² t при t = , с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²-y²-z²+2x-4y+6z+12 = 0, в данной точке M₀ (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = 3+ ln (x²+(y+1)²) указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²-y²-2z²-2y = 0, M₀(-1,-1,1);

б) S: x²+y²+2z² = 10, M₀(-1,1,2).

1. В направлении какой линии y² = 4x или x²+y² = 5 в т. М₀(1,2) функция z = x³+y³ изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?
2. Исследовать на экстремум функцию z = x²-xy+y²+9x-6y+20.
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = 4(x-y)-x²-y² в области

D: 2y + x = 4, x-2y = 4.

Вариант 24

 

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = ln (25-x²-y²); б) z = arctg ().

1. Вычислить приближенно (0,99)^5,05.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = , где x = ln t, y = t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: +z³-3z = 3, в данной точке M₀ (4,3,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²-3z²+xy = -2z, M₀(1,0,1);

б) S: y²-4y+z = 0, M₀(1,-2,-12).

1. В направлении какой линии: x² + y² = 8 или y = -x в т. M₀(-2, 2) функция z = изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x.
2. Исследовать на экстремум функцию z = xy(6-x-y).
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x²-y²+2xy-4x в области

D: y = x+1, y = 0, x = 3.

Вариант 25

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б) z = .

1. Вычислить приближенно (e ^1,15)^1,1.
2. Найти частные производные и полный дифференциал функции z = .
3. Вычислить значение производной сложной функции u = arctg (x+y), где x = t²+2, y = 4-t² при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.
4. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y), заданной неявно: x²+2y²+3z² = 59, в данной точке M₀ (2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.
5. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e ^{– cos (4y+x)} указанному уравнению .
6. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M₀ (x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x²-y²+z²-6x+2y+6 = 0, M₀(1,-1,1);

б) S: z = y²-y-2, M₀(0, , ).

1. С какой наибольшей скоростью может убывать функция u = ln (x²+y²+z²) при переходе т. М(x,y,z) через т. M₀(1,1,1).
2. Исследовать на экстремум функцию .
3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D: y = 0,y = 2, x = 0,x = 1.