Числовая последовательность. Предел последовательности

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число, то задается числовая последовательность :

х ₁, х ₂, х ₃, …, х _n, … (1)

Числовая последовательность (1) – это функция натурального аргумента.

Способы задания последовательностей:

1.Формулой n –го члена x_n=f(n).

2. Рекуррентная форма задания позволяет находить члены последовательности через предыдущие элементы. Например, если { a_n } – арифметическая прогрессия с разностью d, то a_n=a_n–1+d=a₁+d(n–1); для геометрической прогрессии {b_n} со знаменателем q имеем b _n =b _n–1* q=b _1* q ^n–1.

3. Последовательность можно задать описанием её членов. Например, x_n – простое число с номером n.

Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для каждого e>0 существует такой номер N, что для всех n>N выполняется неравенство½ x_n–a ½ < e:

. (2)

При n > N имеем ½ x_n–a ½< e Û –e< x_n–a <e Û a–e<x_n<a+e. число а – предел последовательности (1), если в произвольной e-окрестности точки а находятся все члены последовательности с номерами n > N.

Последовательность { x _n} – сходящаяся, если она имеет конечный предел а. Если предел последовательности не существует или бесконечен, то { x _n} – расходящаяся последовательность, т.е. : .

Теорема 1 (Ограниченность сходящейся последовательности). Если последовательность имеет конечный предел, то она ограничена.

gПусть , тогда ("e>0)($ k): ("n>k)® > e.

Из неравенства e >½ x_n-a ½³½ x_n ½-½ a ½ имеем½ x_n ½<½ a ½+e ("n>k). Если обозначить М=mах{½ x ₁½, ½ x ₂½,¼, ½ x _k½,½ a ½+e}, то "nÎN ½ x _n½£M, т.е. { x _n} – ограничена.n

Теорема 2. Если , (3) и а < b, (4)

то ($n₀ÎN): ("n>n₀)® x _n< y _n.

gПусть U=U(a), V=V(b) – какие-либо не пересекающие окрестности точек a, b. Из неравенства (4) следует, что

(" x ÎU) (" y ÎV) ® x < y. (5)

Согласно условию (3): ($n₀ÎN):("n>n₀) ®(x _nÎU Ù y _nÎV). Учитывая (5), получаем требуемое: x _n< y _n.n

Теорема 3 (Переход к пределу в неравенствах). Если , (6) то . (7)

Теорема 4 (О пределе промежуточной последовательности). Если последовательности { x _n}, { y _n}, { z _n} таковы, что

"n>N₀ x _n £ y _n £ z _n, (8)

и , то предел промежуточной последовательности также равен а: .