Визначення класу кривої та параметрів канонічного рівняння за допомогою інваріантів

За допомогою інваріантів легко розв’язується задача визначення типу та класу лінії, що задана загальним рівнянням, та визначення коефіцієнтів зведених рівнянь цих ліній.

1. Ознаки типів кривих другого порядку, виражені через інваріанти. Вище ми бачили, що рівняння ліній першого типу, для яких , можуть бути зведеними до найпростішого виду

Обчислимо інваріанту І₂, виходячи з цього зведеного рівняння:

Очевидно, і навпаки, якщо , тобто крива буде першого типу.

Якщо крива другого типу, тобто то її зведене рівняння має вигляд:

Обчислимо І₂ та І₃, виходячи з цього зведеного рівняння:

І навпаки, якщо І₂=0, то один із коренів характеристичного рівняння, наприклад s₁, рівний нулю; але так як а значить лінія, для якої буде лінією другого порядку.

На кінець, якщо крива третього типу, тобто:

то її зведене рівняння має вигляд:

Обчислимо І₂ та І₃, виходячи з цього рівняння:

Легко довести і зворотне, що якщо , крива буде третього типу.

Таким чином, ми отримали необхідні та достатні умови ознак типів кривих:

а) Ознака кривої І типу .

б) Ознака кривої ІІ типу .

в) Ознака привої ІІІ типу .

2. Обчислення коефіцієнтів зведених рівнянь через інваріанти.

а) В зведеному рівнянні І типу:

s₁ та s₂ – корені характеристичного рівняння

Обчислимо інваріанти І₂ та І₃ для рівняння кривих І типу, користуючись зведеним рівнянням:

Таким чином,

звідки

і зведене рівняння набирає вигляду:

б) підрахувавши для зведеного рівняння кривої другого типу

інваріанти І₁, І₂, І₃, маємо:

Таким чином,

звідки

і зведене рівняння набирає вигляду:

в) для зведеного рівняння кривої третього типу

інваріанти та семи інваріанта приймають значення:

таким чином,

звідки і зведене рівняння набирає вигляду

3. Визначення класу кривої за допомогою інваріант.

І. Розглянемо криві І типу:

Іа. Для того, щоб це рівняння являло собою дійсний еліпс і могло бути зведене до канонічного виду

необхідно, щоб s₁ та s₂ були одного знаку і мало знак, протилежний знаку s₁ та s_2.

Так як

протилежних знаків, значить,

Умови

Будуть також достатніми для того, щоб рівняння І являло собою дійсний еліпс.

Насправді, з умови слідує, що s₁ та s₂ одного знаку.

а) Нехай s₁ та s₂ – додатні числа, тоді І₁= s₁+s₂>0 та з умови слідує, що а значить,

б) Нехай тепер s₁ та s₂ – від’ємні числа, тоді І₁= s₁+s₂<0 та з умови слідує, що а значить,

Таким чином, з умови та слідує, що s₁ та s₂ одного знаку, а має знак, їм протилежний. В цьому випадку рівняння І являє собою дійсний еліпс.

Іб. Для того, щоб рівняння І являло собою уявний еліпс та могло бути зведене до канонічного виду:

Необхідно, щоб s₁ та s₂ були одного знаку та того же знаку, а значить, І₁= s₁ та s₂ та одного знаку, а так як , то

Умови

являються також достатніми для того, щоб рівняння І було уявним еліпсом, що показується аналогічно Іа.

Ів. Для того, щоб рівняння І представляло гіперболу та могло бути зведеним до канонічного виду:

Необхідно, щоб s₁ та s₂ були різних знаків, і значить,

Умови

будуть також достатніми для того, щоб рівняння і являло собою гіперболу.

Іг. Для того, щоб рівняння І представляло собою точку та могло бути зведеним до канонічного виду

необхідно, щоб s₁ та s₂ були одного знаку, а значить, І₂>0, а =0, тобто І₃=0.

Умови І₂>0, І₃=0 будуть також достатніми, щоб рівняння І являло собою точку.

1д. Для того, щоб рівняння І представляло пару прямих, що перетинаються, та могло бути зведеним до канонічного виду

Необхідно, щоб s₁ та s₂ були різних знаків, і значить,

І₂<0, а =0, тобто І₃=0.

Умови І₂<0, І₃=0

Будуть також достатніми, щоб рівняння І являло собою пару прямих, які перетинаються.

ІІ. Вище було встановлено, що для того, щоб лінія була кривою другого типу, необхідні та достатні умови виливають в тому, що

Зведене рівняння даної лінії має вигляд:

а канонічне –

ІІІ. Встановлено, що необхідними та достатніми умовами кривої ІІІ типу є І₂=0 та І₃=0, а зведене рівняння має вигляд:

Поділивши на І₁, приведемо рівняння ІІІ до виду:

Якщо до умов І₂=0 та І₃=0 добавити:

ІІІа. Умова К<0, то рівняння можна звести до канонічного виду:

Та буде рівнянням пари дійсних паралельних прямих.

ІІІб. Умова К=0, то рівняння можна звести до канонічного виду:

та буде рівнянням пари прямих, що співпадають.

ІІІв. Умова К>0, то рівняння можна звести до канонічного виду:

І буде рівнянням пари уявних «паралельних» прямих.

Приклад 1. Визначити клас лінії:

та записати її канонічне рівняння.

Розв’язання. Обчислимо інваріанти:

1)

2) Визначимо клас лінії:

Значить, дана лінія – це дійсний еліпс.

3) Складемо та розв’яжемо характеристичне рівняння:

4) Запишемо зведене рівняння лінії:

і приведемо його до канонічного виду:

Приклад 2. Визначити клас кривої:

та записати її канонічне рівняння.

Розв’язання.

1) І₁=2, І₂=0, І₃=-64,

2) (крива – парабола).

3) Запишемо її зведене та канонічне рівняння:

Вправи. 1. Визначити вид кривих та записати їх канонічні рівняння:

2. Визначити вид ліній:

3. Визначити клас лінії, для якої: